Точки будем называть узлами интерполяции. Требуется найти аналитическое выражение для этой функции так, чтобы
Геометрически задача интерполирования для функции означает построение кривой, проходящей через точки плоскости с координатами . Очевидно, что через данные точки можно провести бесчисленное множество различных кривых. Эта задача становится однозначной, если в качестве интерполирующей функции для , заданной своими значениями, выбрать многочлен степени не выше , такой, что
Многочлен , удовлетворяющий этим условиям, называют интерполяционным полиномом (многочленом), а соответствующие формулы – интерполяционными формулами.
> restart:
> with(linalg):with(plots):Digits:=5;
Задание 1
Построить интерполяционный полином по определению и записать его в стандартной форме, если функция задана таблично .
Решение.
Строим матрицу значений функции ( 1-я строка ) в узлах интерполирования ( 2-я строка)
> A:=array(1..2,1..5,[[1,2,5,3,5],[2,3,4,5,6]]);
По условию интерполяционный полином не выше 4 степени Стандартная форма полинома имеет вид , где числа -коэффициенты полинома.
> ur:=x->a1*x^4+a2*x^3+a3*x^2+a4*x+a5;
По определению интерполяционного полинома . Составляем систему линейных уравнений.
Построение графика таблично заданной функции (красным) и интерполяционного многочлена(зеленым цветом)
> l := [[ A[2,n], A[1,n]] $n=1..5]:
plot([l,ur(x)],x=2..6,style=point,symbol=circle);
Построение интерполяционного многочлена по определению, как мы видим, можно использовать для практического решения задач. Однако на практике используют другие, более удобные способы построения интерполяционного многочлена.
Интерполяционный полином Лагранжа.
Пусть функция задана таблично
Обозначим интерполяционный многочлен новым символом Будем искать в виде = , где -многочлен степени , причем
Исходя из вышесказанного, можно записать следующим образом
Окончательно получаем:
Это и есть интерполяционный полином Лагранжа (развёрнутая запись)
Задание 2.
Построить интерполяционный полином Лагранжа для приведенной выше функции, сравнить его с полиномом в стандартной форме записи и построить графики табличной функции и многочлена.
Решение.
Функцию, заданную в виде таблицы (см. задание 1), можно записать так