КРАТКАЯ ТЕОРИЯ РАБОТЫ. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 133

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 133

«Определение момента инерции твердого тела и

Проверка теоремы Штейнера»

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ РАБОТЫ.

Вращение вокруг неподвижной оси.Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения Z равен

(1)

Где --расстояние от точки до оси вращения, и мы использовали соотношение . Направление проекции совпадает с направлением , т.е. определяется по правилу буравчика. Величина (2)

называется МОМЕТОМ ИНЕРЦИИ твердого тела относительно оси Z. Продифференцировав(1) по времени и учтя, что , где --момент внешних сил относительно оси вращения, получим

(3)

где - угловое ускорение. Это уравнение называется ОСНОВНЫМ УРАВНЕНИЕМ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ. Вычислим еще кинетическую энергию вращающегося твердого тела:

(4).

и работу внешней силы при повороте твердого тела:

., где .

СВОЙСТВА МОМЕНТА ИНЕРЦИИ.Момент инерции (2) –скалярная аддитивная величина, характеризующая распределение массы тела по отношению к оси. Из уравнений (3) и (4) видно, что момент инерции является мерой инертности твердого тела по отношению к вращательному движению, т.е. играет ту же роль, что и масса для поступательного движения.

ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА связывает момент инерции I относительно произвольной оси с моментом инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс твердого тела:

(5),

где m-масса тела, а -расстояния между осями. Минимальный момент инерции среди всех параллельных осей получается для оси, проходящей через центр масс тела.

ТЕОРЕМА О ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ОСЯ:. момент инерции плоского тела относительно произвольной оси Z , перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей Х и У , лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью Z: .

Например, момент инерции тонкого диска относительно оси симметрии, лежащей в его плоскости, равен .

Приведем моменты инерции некоторых тел различной формы.

1). Тонкий обруч (относительно оси симметрии): . Такой же момент инерции имеет тонкостенный цилиндр (без торцов).

2). Тонкий стержень длиной L (относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через его середину); . Такой же момент инерции имеет плоский прямоугольник относительно оси, проходящей через середины противоположных сторон длиной L. Относительно края стержня момент инерции равен .

3). Плоский прямоугольник относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр: . Такой же момент инерции имеет прямоугольный параллелепипед относительно оси, проходящей через середины противоположных граней.

4). Тонкая сфера относительно оси симметрии: .

5). Однородный шар относительно оси симметрии: .

6). Цилиндрический слой с внутренним радиусом R1 и внешним R2 .

Порядок выполнения работы:

А. Измерение момента инерции твердого тела

I. Сообщите платформе вращательный импульс, потянув за шнур на стене. После того, как платформа начнет устойчиво колебаться (примерно через одну минуту) включите секундомер в момент совпадения указателя платформы с “O” на стене. Зафиксируйте время t₀двадцати совпадений указателя с меткой “O”.

II. Повторите измерение еще дважды и запишите данные в таблицу №1.

III. Остановите платформу, положите на нее тело, момент инерции которого необходимо измерить, вставьте штифт исследуемого тела в центральное отверстие платформы.

IV. Измерьте время 20 колебаний нагруженной платформы t_т согласно п.п. I, II.

V. По формуле (1)

(6)

определите момент инерции тела J_T;момент инерции платформы J_o,=0,0067 m_o=1,65. Определите погрешность момента инерции тела по формуле:

Б. Проверка теоремы Штейнера:

VI. Поставьте 2 цилиндра на платформу штифтами в отверстие №1 платформы.

VII. Измерьте время 20 колебаний платформы с грузами в соответствии с п.п. I, II.

VIII. Такие же измерения сделайте для этих же грузов в положении № 2 и № 3 на платформе; расстояние «а» отверстий от центра платформы: для центрального отверстия: № 0 – (0,0±0,1) мм.

№ 1 – (25,5±0,1) мм.

№ 2 – (45,5±0,1) мм.

№ 3 – (65,5±0,1) мм

IX. Поставьте цилиндры друг на друга и шрифт нижнего поместите в центральное отверстие платформы.

X. Измерьте время 20 колебаний t_i согласно п.п. I, II.

XI. Рассчитайте по формуле (6) момент инерции платформы с грузами в разных позициях на платформе – J_i.

XII. Постройте график зависимости J_i от а² на миллиметровой бумаге.

Таблица №1. Результаты измерений по определению момента инерции твердого тела методом трифилярного подвеса.

№п/п	tо, с	с	DТо,с	DТ2о, с	m0	Δm0	J0	ΔJ0
S

№п/п	tт, с		ΔТТ,с	ΔТ2Т,с	mT	ΔmT	JT	ΔJT
S

Таблица № 2. Результаты проверки теоремы Штейнера.

№ п/п	№ “O” позиции груза
t(о),с	,с	ΔТ(о)с	ΔТ2(о),с	mт	Δmт)	J0)	ΔJ0),
1
2
3

№ п/п	№ 1 позиции груза
t(1),с	,	ΔТ(1),с	ΔТ2(1))	mт	Δmт	J1	ΔJ1,с
1
2
3

№ п/п	№ 2 позиции груза
t(2),с	,с	ΔТ(2)с	ΔТ2(2),с	mт	Δmт)	J2)	ΔJ2
1
2
3

№ п/п	№ 3 позиции груза
t(3),с	,	ΔТ(3),с	ΔТ2(3),с	mт	Δmт	J3	ΔJ3
1
2
3

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. Что называется моментом инерции?
2. Как определяются моменты инерции обруча, диска, шара, стержня?
3. Что называется моментом сил?
4. Что называется плечом силы?
5. Сформулируйте основной закон динамики для вращательного движения.
6. Расчет кинетической энергии вращательного движения.
7. Что называется моментом импульса?
8. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.
9. Запишите формулу для расчета кинетической энергии катящегося шара, диска, полого цилиндра.
10. Запишите Теорему Штейнера и объясните ее.

Поиск по сайту: