Тема: Оценка достоверности результатов эксперимента с помощью критерия Пирсона

ОЦЕНКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ

ПИРСОНА

Лабораторная работа №5

Тема: Оценка достоверности результатов эксперимента с помощью критерия Пирсона

Цель работы: ознакомление и приобретение навыков статической обработки результатов экспериментальных данных в судостроении

Задача: выполнить статическую обработку экспериментальных данных, полученных в лабораторной работе №1 методом Пирсона. Для чего:

1. Преобразовать совокупность замеров f_i в статический ряд, сгруппировав одинаковые замеры;

2. Определить математическое ожидание ;

3. Определить дисперсию (степень рассеяния величины f ) ;

Краткая теория:

Пусть на основе опытов, в которых проведено n независимых замеров величины, получена совокупность замеров x₁, x₂,,x₃,…,x_n. Оценку достоверности результатов можно выполнить с помощью критериев согласия, в частности, критерия Пирсона [2].

Критерий x² Пирсона представляет собой величину:

x²= ( 5.1)

где n_i – число замеров отвечающих данному принятому диапазону изменений величины x;

α_i - вероятность числа замеров в соответствии с гипотетическим распределением;

k - число разрядов (диапазонов или участков с k = 1, 2, 3, 4… раза попадания в них одинаковых значений f_i);

n - общее число замеров.

Суть метода: выдвигается гипотеза, что случайная величина имеет ряд распределения x_i…x_n согласно принятому гипотетическому, а отклонения наблюдаемых частот замеров от гипотетического обусловлены случайными причинами; оценка достоверности такой гипотезы проводится после подсчета критерия x² по данным табличного распределения (см. абл. 5) для определения уровня значимости P; считается, что при уровне значимости более 7% опытные данные практически не противоречат высказанной гипотезе, при этом полученное среднеарифметическое (математическое ожидание) можно с большей вероятностью (достоверностью) и достаточной точностью (степенью погрешности эксперимента, принять в качестве точного (среднестатистического) значения величины x. (т. е. x_i ≈ x_cp= =х_точное).

Ход работы:

Применение критерия Пирсона для статистической обработки экспериментальных данных замеров коэффициента трения f швартова о кнехт выполняется в последовательности:

1. Произвести выборку замеров f_i из лабораторной работы № 1, результаты выборки внести в таблицу 1;

2. Преобразуем совокупность замеров f_i из таблицы 1 в следующий статистический ряд, сгруппировав их одинаковые замеры; данные обработки внести в таблицу 2,

где f_i = f₁, f₂, f₃, f₄ – значения одинаковых замеров f_i;

k = 1,2,3,4,… – число, показывающее сколько раз встречается одинаковое значение замеров f_i в таблице 1 выборки.

3. Определить математическое ожидание статистического распределения величины f по данным таблицы 2 [1].

( 5.2 )

4. Определить дисперсию D_f (рассеяние значений f_i):

( 5.3 )

5. Выскажем следующую гипотезу: статистическое (случайное) распределение замеров f_i подчинено нормальному закону распределения Гаусса с параметрами (5.2) и (5.3), а следовательно, носит случайный характер.

6. Преобразуем статистический ряд (таблица 2), составив таблицу вероятностей попадания случайных величин f в ряд разрядов , считая её распределенной по нормальному закону с параметрами , . Вероятность Р попадания нормально распределенной величины f на участок от до по формуле

( 5.4 )

где Ф – табулированная функция Лапласа , см. таблицу 3.

Свойства этой функции: Ф₍₀₎ = 0,5Ф_(-х) = - Ф_(-х),Ф_(∞) = 0,5Ф_{(- ∞)} = - 0,5. *

7. Подсчитаем критерий Пирсона по (5.1), имея ввиду, что Р_і определяется по выражению (5.4) для каждого разряда (диапазона) , а отвечает числу замеров в опытах для каждого разряда .

8. Определяем число степеней свободы . оно равно разности числа разрядов и числа независимых условий . Такими условиями могут быть:

8.1. Сумма всех частот должна быть равна единице (условие накладывается всегда);

Таблица 1

8.2. Совпадение статистического среднего с гипотетическим (предполагаемым);

Таблица 2

Разряды (участки) g ÷ β

Количество разрядов k

8.3. Совпадение дисперсий статистического и гипотетического распределений и т.п.

Как видно, (см. п.5) в рассмотренном случае соблюдаются также и два последних условия.

Таким образом, число степеней свободы определяется по формуле:

R = k – d = k – 3 ( 5.5 )

9. По таблицам 3,4,5,[3] критерий Пирсона х²является распределением для полученных степеней свободы r и по которому для подсчитанного значения х²и определяется уровень значимости Р.

Таким образом, если соблюдаются сформулированные высше условия достоверности высказанной гипотезы по уровню значимости Р, то можно сделать вывод о том, что эта гипотеза не противоречит экспериментальным статистически обработанным значениям f_i.

В частном случае обработки данных по коэффициентам трения f_i, это означает, что среднее значение погрешности (среднеквадратичное отклонение) может быть принято в качестве оценки погрешности измерений, а математическое ожидание (среднее арифметическое ) может быть принято в качестве точного значения искомой величины f с наибольшей вероятностью α и достоверностью .

Результаты обработки:

1.	f1,2,3...	}	произвести выборку из таблицы 1, внести в таблицу 2
2.	kl,2,3...
3.		10.
	(при п =k) по ф-ле (5.2)		(по ф-ле 5.1 )
4.		11.	Р = Р(x2, r) =
	по ф-ле (5.3)		(по табл.5)
5.		12.	Р ≥ [Р] = 7%
6.	r=k-d=k-3=	13.
7.		14.
	по табл. (3,4)
8.		15.
	по табл. (3,4)
9.
	по ф-ле (5.4)

Приложение 1

Значение функции Лапласа

, для х = 0 ÷ 2,99

Таблица 3

Значение функции Лапласа Ф(х) для х ≥ 3,0.

Таблица 4

*

Приложение 2

Значения х² в зависимости от r и Р

Таблица 5

p r	0.95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05
0.004 0.016 0.064 0.148 0.455 1.074 1.642 2.71 3.84 0.103 0.211 0.446 0.713 1.386 2..41 3.22 4.00 5.95 0,352 0,384 1,005 1,424 2,37 3,66 4,64 6,25 7,82	0,711 1,064 1,649 2,20 3,36 4,88 5,99 7,78 9,49 1,145 1,610 2,34 3,00 4,35 6,00 7,29 9,24 11,07 1,635 2,20 3,07 3,83 5,35 7,23 8,56 10,64 12,59	2,17 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 9,80 12,02 14,07 2,73 3,49 4,59 5,53 7,34 9,52 11,03 13,36 15,51 3,32 4,17 5,38 6,39 8,34 10,66 12,24 14,08 16,92	3,94 4,86 6,18 7,27 9,34 11,78 13,44 15,99 18,31 4,58 5,58 6,99 8,15 10,34 12,90 14,03 17,28 19,08 5,23 6,30 7,81 9,03 11,34 14,01 15,81 18,55 21,0	5,89 7,04 8,63 9,93 12,34 15,12 16,98 19,81 22,4 6,57 7,79 9,47 10,82 13,34 16,22 18,15 21,1 23,7 7,26 8,55 10,31 11,72 14,34 17,32 19,31 22,3 25,0	7,96 9,31 11,15 12,62 15,34 18,42 20,5 23,5 26,3 8,67 10,08 12,00 13,53 16,34 19,51 21,6 24,8 27,6 9,39 10,86 12,86 14,44 17,34 20,6 22,8 26,0 28,9	10,11 11,65 13,72 15,35 18,34 21,7 23,9 27,2 30,1 10,85 12,44 14,58 16,27 19,34 22,8 25,0 28,4 31,4 11,59 13,24 15,44 17,18 20,3 23,9 26,2 29,6 32,7	12,34 14,01 16,31 18,10 21,3 24,9 27,3 30,8 33,9 13,09 14,85 17,19 19,02 22,3 26,0 28,4 32,0 35,2 13,85 15,66 18,06 19,94 23,3 27,1 29,6 33,2 36,4	14,61 16,47 18,94 20,9 24,3 28,2 30,7 34,4 37,7 15,38 17,29 18,82 21,8 25,3 29,2 31,8 35,6 38,9 16,15 18,11 20,7 22,7 26,3 30,3 32,9 36,7 40,1	16,93 18,94 21,6 23,6 27,3 31,4 34,0 37,9 41,3 17,71 19,77 22,5 24,6 28,3 32,5 35,1 39,1 42,6 18,49 20,06 23,4 25,5 29,3 33,5 36,2 40,3 43,8

В ы в о д:

1. В результате статистической обработки экспериментальных данных по коэффициенту трения fиз лабораторной работы №1 можно сделать вывод о том, что экспериментальное значение коэффициента трения f_э = получено с достаточной степенью точности S_f и входит в доверительный интервал его значений f_H<< f_B с достаточно высокой вероятностью α (с учетом критерия Пирсона).

2. При этом рассчитанная погрешность (отклонение) значения коэффициента f_э, полученного экспериментально, от его теоретического значения f_T не превышает допустимой.

Литература:

1.Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятности и ее инженерные приложения. - М.: Наука, гл. ред. физ. мат. лит. - 1988г. (Физико-математическая библиотека инженера) - 480с.

2. Шенк X. Теория инженерного эксперимента. - М.: Мир - 1982г. - 381с.

3. Давыдов В.В. Технические вычисления в кораблестроении. Москва. Морской

транспорт. 1991г.-250с.

4. Лабораторная работа №1. Общесудовые устройства и системы. Швартовное

устройство. Экспериментальная оценка формулы Эйлера. Кафедра морских

технологий НУК им. адмирала Макарова. Николаев 2007 г. (перечень экспериментальных замеров f_і, таблицы 1,2,3).

Работу выполнил(а):

Студент(ка) группы_________

«___»________ 200 г.

Фамилия, имя, отчество

Разработка: Зинкин В.Н.

Компьютерная верстка: Криницкий Д.А., Стоян В.А.

Национальный университет кораблестроения имени адмирала Макарова   К а ф е д р а морских технологий   ОБЩЕСУДОВЫЕ УСТРОЙСТВА И СИСТЕМЫ   Лабораторная работа № 5 ОЦЕНКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ ПИРСОНА

* Примечание к п. 5. Перед составлением таблицы 2 определить по таблице 1 выборки значений f_i разряды (диапазоны) g_i ÷ β_i количество разрядов k.

* Примечание: обозначение в таблице 3, 4: или ;

Поиск по сайту: