Моделирование динамических систем.

Рассмотрим объект имеющий вход и выход

	u(t) y(t)

u(t)=(u₁(t)...u_k(t))^T ; входная величина, управление (в общем случае вектор).

y(t)=(y₁(t)...y_p(t))^T ; выходная величина (выход), состояние (в общем случае вектор).

Моделью такого объекта может быть как линейная зависимость, так и сложная нелинейная функция.(напомнить что такое функция, аргумент)

В случае линейного описания объекта мы имеем ступенчатое изменение выхода при ступенчатом изменении входа. Большинство реальных объектов имеют более сложное поведение (запаздывание, гистерезис, нелинейности и т.п.)

Поэтому для рассмотрения объектов имеющих переходные процессы используются сложные модели в общем виде представленные зависимостями

F(y', y'', ... y⁽ⁿ⁾, u', u'', ... u^(m))=0 (**)

Это наиболее общий вид нелинейного дифференциального уравнения (д.у.), связывающего входной и выходной сигнал.

Существует два способа получения диф. ур. объекта:

· На основе применения известных законов(закон Ома, законы механики и т.д.). Эти законы не требуют экспериментальной проверки, достоверность применения моделей на их основе очевидна.

Применяется в случаях, когда объект управления простой и система невысокого порядка. Или когда объект очень сложный, и, вследствие его сложности, можно воспользоваться законами статистики.

· Эвристический способ (гр. heuriskö - нахожу, открываю).

Заключается в том, что вместо использования готовых законов, предлагаются уравнения, не вытекающие ни из каких законов, а основанные на опыте работы с предыдущими объектами, то есть различные экспертные оценки, мнение опытных специалистов. Такое описание называют феноменологическим, т.е. описанием объекта по основным чертам его внешнего поведения, без глубокого формального (математического, физического и т.п.) изучения его функционирования.

В этом случае, для полученной таким образом модели должны быть исследованы:

1. адекватность, т.е. насколько модель соответствует поведению реального объекта;

2. границы адекватности,т.е. те пределы изменения параметров и переменных модели, при которых сохраняется адекватность.

Для проверки адекватности и границ адекватности существует множество математических методов. (привести каких ? )

Существуют как хорошо изученные процессы, так и процессы, для которых известно очень мало и которые трудно поддаются количественному описанию. Например, динамика самолетов и ядерных реакторов изучалась очень тщательно, и существуют достаточно точные, хотя и очень сложные модели этих процессов. Есть процессы, которые трудно описать количественно. Например, лабораторный биотехнологический процесс ферментации с микроорганизмами одного типа в четко определенной питательной среде можно описать весьма точно. Те же процессы при вариации нескольких штаммов, состава питательной среды и изменении внешней условий трудно поддаются описанию. В этом случае процесс только частично можно описать обычными количественными моделями. Когда количественных моделей недостаточно или они слишком сложны, для описания процессов применяют семантические (лингвистические) модели. (можно привести пример)

Как правило, моделирование сложной системы представляет собой сложный процесс, требующий экспериментальной проверки. При физическом подходе модель формируется исходя из физических соотношений и уравнений баланса. При другом способе построения динамической модели в технический процесс вносятся определенные возмущения, а затем выполняется анализ серий входных и выходных данных. Такой анализ называется идентификацией параметров (parameter identification). Если он выполняется в реальном масштабе времени, т.е. со скоростью, сопоставимой со скоростью протекания процесса, то такая процедура называется рекурсивной оценкой (recursive estimation).

На практике обычно применяется комбинирование физического моделирования и идентификации параметров. При более глубоком изучении свойств процесса становится проще получить его точное динамическое описание. Однако даже тщательно разработанные модели, основанные на физическом подходе, требуют экспериментальной проверки – идентификации.

Параметры многих процессов и систем изменяются не только во времени, но и пространстве. Например, концентрация веществ в растворах при химических процессах, либо распределение силы сопротивления при движении объекта в различных средах. Физический баланс таких систем описывается уравнениями в частных производных. В системах управления процессами эти уравнения обычно аппроксимируются конечными разностями по пространственным переменным для того, чтобы систему можно было описать обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Моделирование дискретных событий.

Моделирование систем, работа которых основана на последовательности дискретных событий, принципиально отличается от моделирования динамических систем на основе описания вход/выход. Для управления температурой, уровнем жидкости или давлением на основе обратной связи модель процесса может быть не нужна. В этом случае значение контролируемого параметра поддерживается на заданном уровне с определенной точностью с помощью включения и выключения исполнительного механизма.

При таком бинарном управлении уже на стадии анализа системы должны быть рассмотрены все возможные нештатные и аварийные ситуации. Что будет, если выйдет из строя датчик или отключится питание? Подготовка исчерпывающего списка всех возможных событий в системе может быть достаточно сложной задачей.

Для участка, на котором станки обслуживаются роботом, необходима модель синхронизации. Эта задача принципиально отличается от простого управления на основе обратной связи. Синхронизация должна быть корректной в том смысле, что определенные детали должны быть доставлены конкретному станку в соответствующее время и в соответствующем порядке. Для моделирования таких задач можно использовать теорию массового обслуживания.

Моделирование динамических механических систем.

Физический подход к моделированию динамических систем основан на уравнениях баланса сил, массы, энергии и моментов. При этом используется второй закон Ньютона. Вводится некоторая система отсчета, относительно которой будут определяться положение, скорость и ускорение звеньев механизма. Для механической системы (рис. 1.1), характерной для многих технических устройств обладающих упруго-диссипативными свойствами можно записать систему дифференциальных уравнений первого порядка, в форме так называемых уравнений состояния.

Рис. 1.1. Расчетная схема кинематического механизма с упругой

связью и демпфированием.

При прямолинейном движении координата x и скорость v выражаются как скаляры

(1.1)

(1.2)

где F – сила, действующая на тело, m – его масса.

Уравнение состояния для этой системы с учетом сил демпфирования и инерции запишется в следующем виде

(1.3)

Разрешив относительно старшей производной, имеем

(1.4)

Данное уравнение является математической моделью поведения подвижной массы при силовом воздействии на нее. Оно может использовать для описания многих механизмов. Качественно решение уравнения зависит от относительной величины коэффициентов демпфированияb, и жесткости c. При малом коэффициенте демпфирования уравнение описывает колебательный процесс, а при больших значениях b колебания отсутствуют. Для характеристики систем такого рода часто применяются показатели относительного демпфирования, значение частоты собственных колебаний и ширину полосы пропускания.

Для систем с вращательным движением (рис.2.)

уравнения состояния имеют вид

(1.6)

где M1, M2 – действующие вращающий момент и момент сопротивления; J1, J2 – моменты инерции вращающихся масс на краях передающего вала; с – жесткость на кручение этого вала; β – коэффициент демпфирования вала; φ₁, φ₂ – углы поворота первой и второй инерционной массы соответственно.

Часто момент инерции звеньев может быть непостоянной величиной, например, при работе промышленного робота или прокатного стана, и нужно учитывать его зависимость от времени и фазовых координат объекта.

Момент сопротивления нагрузки также зависит от многих факторов. Силы трения (сухое трение) вызывают момент сопротивления, который не зависит от скорости, а только от направления вращения и действует всегда против него. В некоторых системах присутствует вязкое трение с моментом сопротивления, характеризующимся коэффициентом Стокса (кинематическая вязкость).

Когда элементы механических систем существенно деформируются, изменяют свою геометрию либо топологию, в этих случаях могут возникать значительные силовые реакции, оценить которые заранее невозможно. Такие динамические системы очень сложны для управления.

Описание управляемых систем во временной и частотной областях.

Вероятно, первое систематическое изучение устойчивости систем с обратной связью выполнил Джеймс С. Максвелл. В 1868 году Максвелл вывел дифференциальные уравнения маятникового регулятора, линеаризовал их в окрестности точки равновесия и показал, что устойчивость системы зависит от корней ее характеристического уравнения. В 1932 году американец шведского происхождения Гарри Найквист опубликовал свою знаменитую теорему о том, как определить устойчивость по форме частотной характеристики. Критерий Найквиста в момент своего появления считался революционным. В те времена военные считали эти теорему настолько важной, что США держали ее в тайне до конца Второй мировой войны.

В большинстве случаев технические процессы сложны и нелинейны, что не позволяет исследовать их классическими методами теории автоматического управления. В 1950-е годы некоторые исследователи вернулись к описанию систем посредством обыкновенных дифференциальных уравнений для задач управления процессами. Такое направление стимулировалось американской и советской космическими программами, поскольку обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой естественную форму описания динамики космических кораблей. Эта тенденция усилилась с появлением цифровых ЭВМ, которые позволили проводить расчеты, ранее практически не применявшиеся из-за огромных затрат времени. Применение цифровых вычислительных машин потребовало новых математических методов решения задач моделирования. Инженеры работали с дифференциальными уравнениями состояния, а не с частотными или характеристическими уравнениями. Появились новые фундаментальные понятия – управляемость, наблюдаемость и обратная связь по переменным состояния. Стало возможным описывать и исследовать сложные системы в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнения состояния систем.

Дифференциальные уравнения, описывающие физический процесс, необходимо преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае говорят, что получено описание в виде уравнений состояния в пространстве состояний (state-space form). В таком виде эти уравнения можно решать численными методами. При этом достаточно четко прослеживается связь между внутренними переменными и внешними входным и выходным сигналами.

В общем случае уравнения баланса нелинейны и, как правило, связаны друг с другом. Таким образом, описание динамики процесса может представлять собой набор нелинейных, связанных между собой дифференциальных уравнений первого порядка для баланса энергии, общей массы, массы компонентов, сил и моментов.

Уравнения состояния представляют собой практичный и удобный способ описания динамических систем. Состоянием называется набор всех переменных – так называемых переменных состояния (state variables), производные первого порядка которых входят в уравнения описания динамической системы. Концепция уравнений состояния имеет фундаментальное значение. Если известны текущее состояние системы (переменные состояния) и входные сигналы, то можно предсказать ее дальнейшее поведение. При этом предысторию, т.е. как было достигнуто текущее состояние, знать не нужно. Другими словами, текущее (начальное) состояние – это минимальное количество информации о системе, которое необходимо, чтобы предсказать ее будущее поведение.

Состояние х можно представить как вектор-столбец, компоненты которого – переменные состояния.

x (1.7)

Непосредственно измерить все переменные состояния можно в редких случаях (существуют внутренние переменные, за которыми не удается следить с помощью датчиков). Выходные величины (измеряемые параметры) образуют вектор у

y (1.8)

Поэтому описание в пространстве состояний называют также внутренним описанием (internal description).

В общем случае число датчиков, связанных с техническим процессом, меньше числа переменных состояния. Поэтому вычисление переменных состояния x по текущим значениям y выходных (измеряемых) параметров – нетривиальная задача.

На любую техническую систему влияют входные сигналы двух типов – сигналы, которыми можно управлять, и сигналы, которыми управлять невозможно. Сигналы первого типа называются управляющими сигналами или переменными управления и составляют вектор u

u (1.9)

Входные сигналы второго типа могут влиять на систему, но не поддаются управлению. Величина этих сигналов отражает влияние внешней среды на систему, например изменение (возмущение) нагрузки, вызванное температурой, радиацией, магнитным воздействием и т.п. Все эти сигналы обозначим вектором v

v = (1.10)

Целью системы управления является вычисление на основе имеющихся измерений у таких управляющих сигналов u, чтобы, несмотря на влияние возмущений v, техническая система выполняла поставленные задачи. Управляемую систему можно представить в виде структуры (рис. 1.3), на которой показаны управляющие силы, возмущения и выходные переменные.

Описание линейной системы в пространстве состояний.

В том случае, когда модель управляемого объекта (процесса) может быть представлена линейными динамическими системами, их можно моделировать линейными дифференциальными уравнениями. Если эти уравнения являются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, можно найти аналитическое решение х(t) при произвольных входных сигналах u(t) и известных начальных условиях.

При этом между внутренними переменными состояния х и измерениями у существует линейная зависимость.

Линейная система имеет много преимуществ, наиболее важным является принцип суперпозиции (superposition principle). Это означает, что при изменении амплитуды входного сигнала на величину b выходной сигнал изменится на величину kb. Несмотря на все достоинства линейного описания, применять его возможно далеко не всегда, поскольку большинство технических процессов существенно нелинейны. Если нелинейности "гладкие", т.е. функция не имеет разрывов второго рода, то при определенных условиях на некоторых интервалах нелинейную систему можно линеаризовать.

Для многих задач управления параметры промышленных процессов должны поддерживаться вблизи некоторых опорных значений. В этом случае целью систем управления является приближение параметров процесса к их опорным значениям. Пока отклонения от опорного значения малы, линейное описание таких систем является адекватным. Однако при больших отклонениях могут потребоваться другие модели, учитывающие влияние нелинейностей объекта.

Описание системы в виде отношений входных и выходных переменных.

Частотные методы используют анализ функций комплексной переменной и преобразование Лапласа. Главные элементы этого подхода – передаточные функции, функциональные блок-схемы и их преобразование, анализ нулей и полюсов функций. К преимуществам анализа систем в частотной области относится возможность использовать соответствующие экспериментальные данные, позволяющие непосредственно построить удовлетворительную модель системы. Если описывается только связь между входными и выходными сигналами, то некоторые внутренние переменные и их взаимосвязи остаются скрытыми, представление системы становится более компактным и имеет меньшее число параметров, чем представление в пространстве состояний. Поскольку в модель включены только входные и выходные переменные, то она называется внешним описанием (external description) в противоположность внутреннему представлению уравнениями состояния. Многие регуляторы в системах управления, например ПИД-регулятор, настраиваются на базе представления технического процесса в виде отношений входных и выходных переменных.

Область применения линейных моделей.

Существуют динамические явления, которые не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Нелинейное поведение реальных систем обуславливается различными причинами. Некоторые из них:

· ограничение сигнала в устройствах управления

· наличие действующих сил, обусловленных сухим трением

· различные виды реле (с зоной нечувствительности гистерезисом и т. д.)

· клапаны (зоны нечувствительности, насыщение);

· нелинейные деформации механических пружин;

· аэродинамическое сопротивление;

· двигатели постоянного тока с последовательно включенной обмоткой возбуждения (момент - функция квадрата тока роторной цепи);

· двигатели переменного тока.

В реальных условиях все сигналы ограничены. Другой пример ограничения сигнала - обратная связь по току в приводах постоянного тока Ток должен быть ограничен, иначе двигатель сгорит. Соответственно, система управления двигателем не может быть линейной, особенно при больших ускорениях и моментах.

Датчики систем управления также могут иметь нелинейные характеристики. Такая зависимость может быть линейна при небольших значениях измеряемых сигналов, и существенно нелинейной – для больших.

Обычно для нелинейных систем аналитическое решение не может быть получено. Для их решения используются численные методы, что вполне приемлемо в большинстве случаев.

Нелинейные системы.

Нелинейные системы можно описать в следующем виде

. (1.11)

.

где определены n переменных состояния и r входов, или в векторной форме

(1.12)

В состоянии равновесия производные dx_i/dt равны нулю. Пусть точке равновесия х^* соответствует постоянный управляющий сигнал u^*, тогда условие равновесия

f(x^*,u^*)=0 (1.13)

Это уравнение эквивалентно n скалярным уравнениям и может иметь несколько решений, каждое из которых соответствует некоторой точке равновесия.

Численное моделирование динамических систем в задачах управления.

Для численного решения нелинейных дифференциальных уравнений применяются различные методы, в основе которых – аппроксимация производных по времени разностными уравнениями.

(1.14)

Если известны начальные условия x(0), то можно рассчитать значения x(h), x(2h), x(3h), … , x(nh), которые являются приближениями точного решения в соответствующие моменты времени. Для решения систем дифференциальных уравнений в процессорных системах управления должны быть определены начальные условия и величина шага интегрирования. Чем меньше шаг интегрирования, тем меньше (формально) погрешность аппроксимации при численном интегрировании. Однако слишком маленький шаг ведет к неоправданно большому времени вычислений (которое так же зависит от сложности вычислений, типа уравнений, числа переменных и производительности процессора). Поскольку слишком большое значение шага вызывает проблемы сходимости решений, важно определить компромиссное значение. Эффект неправильно выбранного шага может оказаться очень существенным, особенно если в моделируемой системе взаимодействуют быстрые, и медленные динамические процессы.

На рис. 1.4, 1.5 показано, что при неправильно выбранном шаге решения дифференциальных уравнений, возможно получения недостоверного результата.

Рис. 1.4. Моделирование разгона двигателя при шаге интегрирования h=0.01 с.

Рис. 1.5. Моделирование разгона двигателя при шаге интегрирования h=0.08 с

В данном случае решались уравнения описывающие разгон двигателя постоянного тока при синусоидальном изменении нагрузки на его валу. В общем случае для больших значений h решение будет иметь неустойчивый, колебательный характер. Проблема возникновения колебаний из-за слишком большого шага интегрирования называется численной неустойчивостью. Эта неустойчивость не имеет ничего общего с самой системой и вызывается погрешностями аппроксимации при вычислении решения.

Существует много методов численного интегрирования, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки. Наибольшее распространение получили методы Рунге-Кутта. Большинство методов интегрирования допускают варьируемую величину шага, которая выбирается автоматически, чтобы удовлетворить заданной величине допустимой погрешности. Однако, в этом случае невозможно обеспечить получение решения за одинаковые интервалы времени, что важно для систем управления, работающих в реальном времени.

Дискретные модели динамических систем.

При использовании в системах управления цифровой ЭВМ, сбор данных и выработка управляющих сигналов происходят только в определенные моменты времени. Ситуация принципиально не меняется при повышении скорости процессора - данные остаются дискретными выборками непрерывного сигнала.

Приведем пример формирования модели физического процесса, пригодной для компьютерного управления. В соответствии с дискретным характером модели, измеряемые данные собираются через регулярные интервалы времени. Эти интервалы не обязательно должны быть одинаковыми, однако описание дискретной динамически модели проще при постоянном интервале времени. Данный процесс называется выборкой, дискретизацией (sampling) или квантованием, величина интервала времени – периодом дискретизации (sampling time) или квантования. Будем считать, что измеряемые данные и сигналы управления остаются неизменными в течение интервала выборки.

Дискретное описание в пространстве состояний.

Нелинейный процесс, описанный уравнениями (1.11) можно аппроксимировать разностным уравнением

x[(k+1)·h]≈ x(k·h)+h∙f(x,u) (1.15)

где h - интервал выборки и k - его порядковый номер; f(x,u) производная по времени вектора состояния системы х в соответствии с уравнением (1.11). Аппроксимация справедлива, если h достаточно мал и производная функции гладкая. Линейная система с постоянными коэффициентами в дискретном виде может быть представлена следующим образом

x₁[(k+1)·h]=(1+h·a₁₁)·x₁(k·h)+…+h·a_1n·x_n(k·h)+ h·b₁₁·u₁(k·h) +…+ h·b_1r·u_r(k·h)

.

. (1.16)

.

x_n[(k+1)·h]=(1+h·a_n1)·x₁(k·h)+…+h·a_nn·x_n(k·h)+ h·b_n1·u₁(k·h) +…+ h·b_nr·u_r(k·h)

Предполагается, что сигнал управления u(t) остается постоянным между моментами выборки, т.е. система включает в себя схему удержания или выборки/хранения.

Аппроксимация конечными разностями (1.16) стремится к точному решению при малых значениях h интервала выборки. Решение уравнений дискретной модели

y(k·h)=C·x(k·h)+D·u(k·h) (1.17)

на цифровой ЭВМ получается в последовательные моменты времени на основе решения шаг за шагом разностных уравнений.

Поиск по сайту: