Формирование матриц жесткости и масс в глобальной системе координат для рамы

Задание 4

Расчет плоской рамы методом конечных элементов

Задание:

Определить внутренние силовые факторы в элементах и перемещения узлов плоской рамы в случае статического приложения сил и при заданном гармоническом воздействии.

Методические указания и пример расчета

Формирование матриц жесткости и масс в глобальной системе координат для рамы

Узловые перемещения рамного конечного элемента в локальной системе координат выражаются через глобальные узловые обобщенны перемещения и углы α и β рис.1 в виде

Рис. 1. Преобразование на плоскости узловых перемещений рамного конечного элемента

В матричной форме это преобразование запишем так

где

(2)

Направляющие косинусы локальной оси определяются глобальными координатами узлов

(3)

(4)

где

(5)

длина элемента.

Матрица жесткости конечного элемента в глобальной системе координат преобразуется с учетом выражения (1) и зависимости для потенциальной энергии элемента, которая не зависит от выбора системы отсчета:

тогда

(6)

Аналогично преобразуется и матрица масс конечного элемента , на основании того, что кинетическая энергия элемента не зависит от направления осей координат, по аналогии с потенциальной энергией получим:

(7)

Узловые силы и моменты, приложены к узлам рамы, которые задаются в глобальной системе координат, в преобразованиях не нуждаются.

Силы, заданные в локальной системе отсчета для каждого элемента должны быть приведены к глобальной системе отсчета. Распределенные нагрузки приведенные к узловым силам в локальной системе координат совершают возможную работу на глобальных возможных перемещениях

,

где узловые силы в локальной системе отсчета равны

Выразим глобальные перемещения через локальные по уравнениям (1):

,

учитывая

,

или

,

тогда

,

Коэффициенты в выражении возможной работы при вариациях обобщенных координат есть вклад в обобщенные силы от распределенных внешних нагрузок

(8)

Добавляя в выражение (8) вклад сил заданных в глобальной системе отсчета и объединяя уравнения равновесия для всей совокупности конечных элементов, получим уравнения равновесия системы при статической задаче:

(9)

И уравнения динамического равновесия для движения всей конструкции:

(10)

Рассмотрим, как формируется матрица жесткости и уравнения равновесия для механической системы, содержащей рамные конечные элементы (рис. 2), к которой приложены распределенные силы интенсивности p=40 Н/м, сосредоточенные сила F=700 Н и момент M=200 Н м (в статике и в динамике при частоте гармонического воздействия всех сил в одной фазе ). Известны размеры Жесткость стержней на растяжение-сжатие составляет EF= EI=4000 . Удельная масса стержней рамы m=100 кг/м.

Без учета закрепления узлов необходимо ввести 24 обобщенных перемещений (по три на каждый из 8 узлов). Матрица жесткости для такой системы будет иметь размер 24 24, а матрица каждого элемента, приведенная к глобальной системе координат, имеет размер Таким образом, конечные элементы, узлы которых совпадают должны вносить общий суммарный вклад в соответствующие элементы матрицы жесткости, причем шарнирно-соединенные элементы получают в точке соединения разные глобальные номера узлов. Это обусловлено тем, что углы поворота таких узлов разные.

Рис. 2 Рама с номерами узлов: 1...8 и номерами стержней 1...5 (в окружностях)

Рис. 3 Нумерация глобальных обобщенных координат для трех первых элементов с указанием в скобках номеров внутренней нумерации

В качестве исходных данных для формирования матрицы жесткости потребуется координатная матрица для узлов и топологическая матрица для конечных элементов. Координатная матрица – это таблица, которая содержит информацию о номере узла и его координатах, а также о способе его закрепления и приложенных сосредоточенных силовых воздействиях. В соответствии с количеством узлов выбирается число обобщенных перемещений. Для конструкции рисунка 2 с учетом размеров координатная матрица имеет вид

Таблица 1. Координатная матрица.

№ узла	Координаты	Сосредоточенные силы	Закрепления по
x	y			M	x	y	φ
						-1	-1	-1
	3,8
	3,8
	3,8
	3,8					-1	-1	-1
	6,2				M
	7,2					-1	-1

В последних трех столбцах 0 – соответствует свободному перемещению узла в данном направлении, а (-1) - закрепленному, в соответствии с направлением оси, целые положительные числа указывают на номер узла, у которого данное перемещение должно быть одинаковым с текущим узлом.

Топологическая матрица содержит информацию об элементах конструкции и представляет собой таблицу, столбцы которой соответствуют локальным номерам узлов начала и конца элемента, а строки номеру элемента. Внутренние ячейки таблицы содержат глобальные номера узлов, соответствующие каждому элементу, кроме этой информации в каждую строку добавляем характеристики распределенных сил и прочностные и массовые свойства элементов. Для конструкции рисунка 2 топологическая матрица примет вид

Таблица 2. Топологическая матрица.

№ элемента	Узлы	Значения px в узлах,	Значения py в узлах,	EF,	EI,	m, кг/м
нач.	2 кон.	нач.	кон.	1 нач.	кон.
					-40	-40

По координатной и топологической матрицам формируется матрица индексов – это таблица, строки которой соответствуют номерам элементов, а столбцы локальным номерам обобщенных перемещений. Внутренние ячейки содержат глобальные номера обобщенных перемещений:

Таблица 3. Матрица индексов.

По топологической и координатной матрицам вычисляются также направляющие косинусы и длины элементов (формулы (3),(4),(5)) и матрицы жесткости каждого элемента в отдельности (1). В строках матрицы указаны глобальные номера узловых перемещений конечных элементов в порядке следования соответствующих им локальных номеров. Число строк в матрице равно числу конечных элементов f1.m:

for (int i = 0; i < f1.m; i++)

{

// Формирование матрицы индексов

A[i, 0] = i + 1;

A[i, 1] = Convert.ToInt32(f1.MatrTop[i, 1]) * 3 - 2;

A[i, 2] = Convert.ToInt32(f1.MatrTop[i, 1]) * 3-1;

A[i, 3] = Convert.ToInt32(f1.MatrTop[i, 1]) * 3;

A[i, 4] = Convert.ToInt32(f1.MatrTop[i, 2]) * 3-2;

A[i, 5] = Convert.ToInt32(f1.MatrTop[i, 2]) * 3-1;

A[i, 6] = Convert.ToInt32(f1.MatrTop[i, 2]) * 3;

}

Затем с помощью матрицы индексов суммируем элементы отдельных матриц элементов в общую матрицу жесткости системы. Ниже приведен фрагмент программы на языке С# реализующий процесс сборки:

for (int ii = 0; ii < f1.m; ii++)

{

...//Формирование матрц элемента

for (int i = 1; i <= 6; i++)

{

int ig = A[ii, i];

for (int j = 1; j <= 6; j++)

{

int jg = A[ii, j];

K[ig - 1, jg - 1] = K[ig - 1, jg - 1] + Ke1[i - 1, j - 1];

M[ig - 1, jg - 1] = M[ig - 1, jg - 1] + Me1[i - 1, j - 1];

}

}

}

Обозначения в программе:

· ii– номер текущего конечного элемента;

· f1.m – число конечных элементов;

· A – матрица индексов перемещений;

· i, j – локальные индексы узловых перемещений конечного элемента;

· ig, jg – соответствующие им глобальные индексы, выбираемые из матрицы A;

· K –матрица жесткости конструкции;

· Ke1– матрица жесткости текущего конечного элемента с номером ii, вычисленная в глобальной системе координат.

Аналогично формируется матрица масс M конструкции при решении динамической задачи.

Поиск по сайту: