Модель Леонтьева затраты-выпуск

Глава 5. Линейные модели экономики

Планирование выпуска на уровне отраслей

При экономическом планировании на уровне регионов или страны в целом возникает необходимость определения объема выпуска товаров, обеспечивающего заданный спрос населения и производственные нужды на эти товары при известной технологии. В предположении о линейности технологии (т.е. о прямой пропорциональности объема выпуска объемам затрат ресурсов) математической формализацией этой задачи является знаменитая модель затраты-выпуск, полученная в 1930 г. американским экономистом В. Леонтьевым. Модель Леонтьева является частным случаем модели Вальраса. С точки зрения этой общей модели равновесия классическая (исходная) модель Леонтьева имеет следующие особенности:

· рассматривается экономика, состоящая из «чистых» отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;

· взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология);

· вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;

· вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;

· равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения, т.е. стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще.

Уравнение Леонтьева, как пример описательной модели экономики на уровне интуитивных рассуждений, было получено ранее. Приведем экономически обоснованную строгую аргументацию этой модели. Сначала рассмотрим наиболее упрощенный ее вариант.

В зависимости от цели исследования экономику можно изучать в различных разрезах - от уровня национальной экономики до уровня отдельных фирм и потребителей. Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (т.е. производственному и конечному) спросу на товары. Поэтому экономика рассматривается в разукрупненном до уровня отраслей виде. Предполагается, что каждая отрасль является «чистой», т.е. выпускает только один и только свой продукт. Это допущение и ряд других упрощений (постоянство технологии производства, отсутствие инвестиций, игнорирование невоспроизводимых ресурсов и др.) касаются, в основном, исходной модели. Эти допущения не следует относить к недостаткам модели, ибо она в дальнейшем обобщается и конкретизируется до разных уровней детализации.

Рассмотрим предпосылки модели. Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их. Другими словами, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается.

Обозначим через n количество всех отраслей. Так как отрасли являются чистыми, индекс отрасли можно отождествить как с видом товара, так и с технологическим процессом.

Предположим, что на данном плановом периоде времени (например, на предстоящий год) известен конечный спрос на все n товаров. Пусть технология производства предписывает для выпуска одной единицы i -го товара количество товара вида 1, количество товара вида 2 и т.д., количество товара вида n Обозначим через объем производства отрасли i на всем плановом периоде (валовый выпуск). Тогда величина показывает объем продукции отрасли j , необходимый для функционирования отрасли i с планом выпуска , а величина

- суммарное потребление продукции отрасли j в производственном секторе.

Наглядную картину межотраслевых связей при плане выпуска и плане конечного потребления показывает схема межотраслевого баланса (рис.5.1).

Отрасли как поставщики продуктов	Отрасли как потребители ресурсов	Потребление	Валовый выпуск
		…		Производственное	Конечное
			…
			…
…					…	…	…
			…

Рис. 5.1. Схема межотраслевого баланса

Балансовый характер этой схемы заключается в том, что элементы последних трех столбцов в каждой строке должны удовлетворять равенству

(5.1.1)

Левую часть равенства (5.1.1) можно трактовать как итоговый (производственный плюс конечный) спрос на продукцию отрасли j (на j-ый товар), а правую - как предложение j-го товара. Поэтому, во-первых, уравнения (5.1.1) отражают общее равновесие (т.е. равновесие по всем видам товаров) в экономике. Во-вторых, система (5.1.1) показывает самодостаточность производства - для выпуска любого товара достаточно иметь воспроизведенную продукцию рассматриваемых отраслей. В-третьих, из уравнений (5.1.1) следует, что весь валовый выпуск полностью распределяется между потребителями. Последние два обстоятельства говорят о замкнутости экономики - нет поступления извне, и продукция не экспортируется.

Таким образом, схема межотраслевого баланса задает те условия, когда экономика будет находиться в равновесном состоянии. А именно, при известном спросе и известной постоянной технологии вектор валового выпуска должен вычисляться как решение системы n линейных уравнений (5.1.1).

Наиболее общая, чем изображенная на рис. 5.1, схема межотраслевого баланса, которая используется на практике, содержит дополнительные столбики учета невоспроизводимых факторов (таких, как каменный уголь), импортируемых ресурсов, а также резервов на начало планируемого периода. Эти столбики можно отнести к дополнительным (фиктивным) отраслям для которых при В модели (5.1.1) можно учитывать и экспорт товаров и инвестирование, фиксируя их объемы в столбике конечного потребления по видам товаров, т.е. рассматривая вместо величины

В целом межотраслевой баланс содержит два раздела: формирование производственных ресурсов и использование результатов производства на производственное и конечное потребление. В этом случае говорят о межотраслевом балансе в натуральном выражении.

Более сложную структуру имеет схема межотраслевого баланса в денежном выражении, которая состоит из четырех разделов: промежуточного продукта, конечного продукта, амортизации, вновь созданной стоимости и ее перераспределения.

Модель Леонтьева затраты-выпуск

Подставляя технологические коэффициенты в (5.1.1), для каждой отрасли получаем балансовое соотношение

С помощью технологической матрицы

эту систему уравнений можно написать в векторной форме:

(5.2.1)

Уравнение (5.2.1), где A - постоянная технологическая матрица, - известный вектор спроса, - неизвестный вектор выпуска, называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение Ax как затраты, эту систему часто называют моделью «Затраты-выпуск».

Модель Леонтьева отвечает на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос? Ответ на этот вопрос сводится к существованию решения системы

относительно переменных . Условия существования и единственности решения такой системы известны из курса алгебры. Однако здесь речь идет о решении этой системы, имеющем подходящий экономический смысл. А именно, все элементы модели Леонтьева по их определению являются неотрицательными величинами, в том числе переменные . Поэтому говорят о существовании неотрицательных решений системы (5.2.1).

Определение 5.1. Модель Леонтьева называется продуктивной, если система (5.2.1) имеет неотрицательное решение

Перепишем систему (5.2.1) в виде Тогда или

(5.2.1)

где E – единичная -матрица. Следовательно, существование неотрицательного решения системы (5.2.1) определяется существованием невырожденной матрицы обратной к матрице

Матрица называется невырожденной, если она имеет обратную матрицу , определяемую условиями Матрица B является невырожденной в том и только в том случае, если где - детерминант (определитель) матрицы B. Обратная матрица существует и неотрицательна, если все главные миноры матрицы B положительны (условие Хокинса-Саймона):

Для того чтобы применить эти условия существования и невырожденности к матрице приведем ряд дополнительных построений.

Система (5.2.1) является частным случаем (при ) более общей системы

(5.2.3)

где Рассмотрим следующую, связанную с уравнением (5.2.3), систему

(5.2.4)

где D - -матрица с элементами

. (5.2.5)

Если для всех i,j , то систему (5.2.3) можно преобразовать в (5.2.4), положив где - символ Кронекера. Обратно, система (5.2.4) может быть преобразована в (5.2.3) . Для этого нужно взять достаточно большое положительное число и положить Отсюда причем

Следовательно, если найти условия существования неотрицательного решения системы (5.2.4), то тем самым можно доказать продуктивность модели Леонтьева, получаемой из (5.2.3) при .

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 5.1. Матрица D системы (5.2.4) , элементы которой удовлетворяют условиям (5.2.5) , неотрицательно обратима тогда и только тогда, когда уравнение (5.2.4) имеет неотрицательное решение (т.е. продуктивно).

(Квадратная матрица D называется неотрицательно обратимой, если она невырожденна и ее обратная матрица неотрицательна).

Теорема 5.2. Уравнение (5.2.4) продуктивно тогда и только тогда, когда матрица удовлетворяет условию Хокинса-Саймона, т.е. все главные ее миноры положительны.

Из приведенных утверждений следует, что необходимым и достаточным условием продуктивности модели Леонтьева (5.2.1) является существование неотрицательно обратимой матрицы , т.е. чтобы матрица была невырожденна и чтобы обратная матрица была неотрицательна.

Следовательно, если эти условия выполнены, то искомый вектор выпуска x определяется по формуле (5.2.2). Матрица даёт информацию о том, каким образом вектор конечного спроса c пересчитывается в необходимый вектор валового выпуска x. Из линейности модели Леонтьева по x и c следует, что приращение вектора c и соответствующее приращение вектора x связаны между собой уравнением Следовательно, матрица позволяет вычислить изменение валового выпуска, вызванное изменением конечного потребления. Поэтому матрицу часто называют матричным мультипликатором. Элемент матричного мультипликатора (обозначим через ) можно интерпретировать как количество продукта одного вида, необходимое для выпуска одной единицы продукции другого вида.

Известно, что матрицу можно представить в виде степенного ряда матриц:

где

,

и т.д. Следовательно, вычисление (аппроксимация) обратной матрицы связано со сходимостью бесконечного степенного ряда

(5.2.6)

Если матрица неотрицательно обратима, то ряд (5.2.6) сходится, т.е. сумма (5.2.6) конечна и равна .

Таким образом, для продуктивной модели Леонтьева вектор валового выпуска x представляется матричным рядом

Здесь слагаемые интерпретируются как промежуточные затраты, а именно, - затраты, необходимые для производства (выпуска) c, - затраты, необходимые для производства (выпуска) и т.д. Содержательный смысл этой последовательности состоит в следующем: для того чтобы получить чистый выпуск c , нужно затратить вектор продуктов ; затем, чтобы произвести в системе этот набор продуктов , придется дополнительно затратить и т.д. Сумма вектора чистого выпуска c (вектора конечного потребления) и всех векторов промежуточных затрат (производственного потребления) и составляет вектор валового выпуска. Из предыдущего равенства следует, что решение уравнения (5.2.1) можно получить итерационно по формуле

с начальным условием

Важным следствием модели Леонтьева являются результаты, получаемые с применением двойственной к ней модели

, (5.2.7)

где - транспонированная матрица A . Уравнению (5.2.7) можно придать смысловую стоимостную окраску. Действительно, можно интерпретировать как вектор цен продуктов отраслей, - как вектор добавленной стоимости (т.е. прибавка к стоимости товара после ее производства) на единицу выпуска, - как вектор суммы издержек на единицу выпуска. Тогда разность есть вектор чистого дохода от единицы выпуска. Этот чистый доход и приравнивается добавленной стоимости .

Существование решения двойственного уравнения (5.2.7) относительно вектора цен связано с неотрицательностью всех его элементов.

Если уравнение (5.2.7) имеет неотрицательное решение , то двойственная модель Леонтьева называется прибыльной. Это свойство является двойственным к понятию продуктивности модели Леонтьева в том смысле, что выполнение одного из свойств влечет справедливость другого. Данное положение является следствием наличия тесной математической связи между взаимно двойственными уравнениями (5.2.1) и (5.2.7) . Действительно, рассмотрим двойственные к (5.2.3) и (5.2.4) уравнения

(5.2.8)

где (5.2.9)

такие что (5.2.7) является частным случаем (при ) уравнения (5.2.8) , а (5.2.8) и (5.2.9) , как и (5.2.3) и (5.2.4) , взаимно преобразуемы друг в друга. Тогда для матрицы справедливы утверждения, аналогичные теоремам 5.1 и 5.2., а также следующая теорема.

Теорема 5.3. Для того чтобы модель Леонтьева (5.2.1) была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы двойственная к ней модель (5.2.7) была прибыльной.

Здесь рассмотрена классическая (исходная) модель Леонтьева, которая описывает производство по схеме затраты-выпуск. Значимость модели Леонтьева заключается еще и в том, что она применяется для описания ряда других экономических задач, а также служит отправной точкой для различных обобщений. В качестве подтверждения этого приведем интерпретацию уравнения (5.2.1) как модели международной торговли и модификацию модели Леонтьева как оптимизационной задачи.

При трактовке уравнения (5.2.1) как модели торговли n означает число торгующих между собой стран, - национальный доход i-ой страны, - национальные расходы i -ой страны, - объем импорта из страны i в страну j , приходящийся на одну единицу национального дохода страны j. Элементу придается смысл коэффициента внутреннего потребления своей продукции i -ой страной.

И в такой интерпретации, очевидно, все элементы модели Леонтьева должны быть неотрицательными и, более того, национальный доход и национальные затраты всегда являются положительными величинами. В данном случае модель (5.2.1) дает ответ на вопрос: каковы должны быть объемы национальных доходов стран, обеспечивающие стабильный уровень национальных расходов и установившийся режим обмена товарами между странами?

Ранее было отмечено, что одним из существенных упрощений модели Леонтьева является отсутствие в ней первичных (невозобновляемых) факторов производства. Модель будет более близкой к реальности, если наряду с воспроизводимыми (вторичными) ресурсами, описываемыми в (5.2.1) произведением , будут учтены и первичные факторы. Оказывается, такое обобщение превращает модель Леонтьева в оптимизационную задачу.

Предположим, что в модели (5.2.1) каждый товар производится с использованием продукций всех отраслей и еще m видов первичных ресурсов. Обозначим через количество k-го первичного фактора, затрачиваемого в производство количества j-го товара, а через - количество k -го первичного фактора, необходимое для производства одной единицы товара вида j . Из определения этих величин следует, что, как и в случае вторичных ресурсов, имеет место выражение

Таким образом, для каждого товара j мы имеем видов представления его выпускаемого объема:

(5.2.10)

Поэтому производство во всех n отраслях может быть описано n линейными производственными функциями

(5.2.11)

(здесь для всех ресурсов вида i и k , участвующих в выпуске товара вида j , предполагаются условия ).

Из (5.2.10) и (5.2.11) следует, что для любых i и k

Поэтому справедливы уравнения:

Суммируя обе части этих уравнений по j, получим выражения, определяющие суммарные по всем отраслям объемы затрат вторичных и первичных факторов производства:

(5.2.12)

(5.2.13)

Так как уравнения (5.2.12) относятся к товарам каждой отрасли, используемым как на производственное, так и на конечное потребление, то выполняется равенство

или в матричной форме Введем в рассмотрение матрицу

трактуемую как технологическая матрица для первичных ресурсов, и предположим, что известен вектор запасов всех первичных ресурсов, т.е.

Тогда из (5.2.13) следует условие

Обозначим через и векторы цен вторичных и первичных ресурсов соответственно.

Поставим следующий вопрос: при каком векторе выпуска реализация конечного продукта приведет к максимальному доходу с учетом наличного запаса первичных ресурсов? Для решения задачи получаем следующую задачу линейного программирования:

при ограничениях

Так как по смыслу задачи максимизация дохода осуществляется через вектор выпуска, эту задачу целесообразно переписать, выразив в целевой функции вектор спроса c из уравнения (5.2.1):

(5.2.14)

при ограничениях

(5.2.15)

Напишем для (5.2.14)-(5.2.15) двойственную задачу с новой переменной :

(5.2.16)

при ограничениях

(5.2.17)

Введем изменение масштаба цен и запишем двойственные задачи (5.2.14)-(5.2.15) и (5.2.16)-(5.2.17) в более компактном виде:

при ограничениях (5.2.18)

при ограничениях (5.2.19)

Решение задачи (5.2.18) дает вектор спроса на товары , а решение задачи (5.2.19) - вектор предложения первичных факторов Для пары задач (5.2.18) и (5.2.19) и их решений c и v верны все утверждения из для двойственных задач линейного программирования.

Согласно общего определения равновесия (см. раздел 4.3), набор будет равновесным в модели Леонтьева, если выполнены соотношения

(5.2.20)

Благодаря линейности задач (5.2.18) и (5.2.19), такое равновесие существует.

Замечание. Существование равновесия (5.2.20) можно доказать либо показав выполнение условий теоремы Эрроу-Дебре из раздела 4.4, либо доказав напрямую, применяя схему доказательства теоремы Эрроу-Дебре, т.е. приведя к теореме Какутани о неподвижной точке для полунепрерывного сверху отображения множества нормированных цен:

Планирование производства в динамике

Следующим представителем класса линейных моделей экономики является модель, построенная в середине 1930-х годов австрийским математиком Джоном фон Нейманом. По сравнению с моделью Леонтьева, которую можно использовать для планирования производства на одном плановом периоде в целом (год, пятилетка и т.д.), модель Неймана отслеживает производственный процесс внутри планового периода, т.е. затраты и выпуск, осуществляемые в каждый период времени (от квартала в квартал, от года в год и т.д.). Поэтому она обобщает модель Леонтьева в двух аспектах: в динамическом плане и в плане многопродуктовых отраслей. В модели Неймана предполагается, что экономика функционирует эффективным образом сколь угодно долго. Логическим следствием такой предпосылки является рост производственных возможностей во времени с нарастающими темпами. Поэтому модель Неймана описывает расширяющуюся экономику.

Модель Леонтьева фактически является аналитическим описанием схемы межотраслевого баланса. Подобно этому, модели Неймана, как отправная точка, предшествует схема динамического межотраслевого баланса.

Для вывода этой схемы рассмотрим функционирование экономики на некотором конечном периоде времени . Отрезок разобьем точками так, чтобы получилась возрастающая последовательность моментов времени

.

Тогда получаем последовательность полуинтервалов длины , покрывающих весь отрезок . Момент будем трактовать как начальный момент планирования производства товаров, а момент - как плановый горизонт. В дальнейшем во всех отношениях удобно полагать и трактовать моменты как годы. При этих обозначениях будем писать .

Будем предполагать, что экономика состоит из n чистых отраслей с постоянными технологиями, описываемыми матрицей A. Планирование опять будем понимать по схеме затраты-выпуск при известном спросе на товары, но теперь уже с учетом фактора времени.

Под планом производства на отрезке времени будем понимать совокупность

Здесь каждая строка соответствует плану в год t ; - вектор запасов товаров, - вектор валового выпуска. Каждая компонента считается максимально возможным при существующих основных фондах выпуском отрасли j. Валовый выпуск отрасли может быть увеличен путем дополнительных вложений, и этот показатель также включается в план. Вектор обозначает планируемое в год t увеличение (приращение) валового выпуска. Наконец, число показывает общее количество нанятых во всех отраслях рабочих в год t.

Труд, как вид товара, не рассматривался в исходной модели Леонтьева. Особенность данного товара заключается в том, что он, во-первых, являясь воспроизводимым ресурсом, в то же время не является продуктом какой-либо отрасли, во-вторых, как фактор в производственном процессе, занимает промежуточное положение между материальными ресурсами и готовой продукцией. Никакое производство не может обходиться без трудовых затрат. Единицей ее измерения является рабочая сила. Необходимое для отрасли количество рабочей силы определяется трудовыми затратами, вложенными в выпуск одной единицы продукции. Данный параметр для отрасли j обозначим . Тогда число рабочих в отрасли j в год t равно . Вектор называется вектором трудовых затрат.

Обозначим через , объемы материальных затрат, необходимых для приращения на одну единицу выпуска товара i. Тогда материальные затраты на одновременное приращение выпусков всех отраслей на величины будут исчисляться как , где - технологическая матрица приращения производства.

Наглядную картину межотраслевых связей во времени при плане производства , плане конечного потребления на одного работающего на весь плановый период и при постоянных технологиях производства и его приращения показывает схема динамического межотраслевого баланса (рис. 5.2). Эта схема составляется для каждого года , причем при есть валовый выпуск отрасли j к началу планового периода

Отрасли	Совокупный запас товаров	Производство	Приращение производства	Конечное потребление на одного рабочего	Трудовые затраты
Валовый выпуск	Технология	Приращение валового выпуска	Технология
В год	В год
…	…			…	…	…

Рис. 5.2. Схема динамического межотраслевого баланса

Балансовый характер этой схемы заключается в том, что ее элементы должны удовлетворять следующим (балансовым) соотношениям:

(5.3.1)

(5.3.2)

(5.3.3)

(5.3.4)

(5.3.5)

Здесь - производственные затраты, - дополнительные затраты, соответствующие приращению производства на вектор , а - конечное потребление в год t. Поэтому условие (5.3.1) требует, чтобы весь годичный запас товаров покрывал все годичные затраты ежегодно. Неравенство (5.3.2) задает условие на необходимый объем трудовых ресурсов, неравенство (5.3.3) говорит о том, что запасы на данный год не могут превышать результатов производства предыдущего года, и, наконец, уравнение (5.3.4) описывает динамику роста валового выпуска из года в год.

Если сравнить систему (5.3.1)-(5.3.5) с моделью Леонтьева (5.2.1), то можно заметить, что последняя получается из (5.3.1) при отсутствии приращения производства, т.е. когда . Дополнительные условия (5.3.2)-(5.3.4) вызваны необходимостью учета трудовых ресурсов и динамического характера развития производства. Как и модель Леонтьева, данная схема может быть обобщена и детализирована по ряду параметров. В приведенном здесь виде наиболее нереальным является условие (5.3.4), которое предполагает (при ) получение результатов от затрат, осуществляемых в начале периода , уже к концу этого периода. Условие (5.3.4) можно записать в виде:

В этом равенстве последнее слагаемое имеет смысл приращения производства за первые t лет по сравнению с начальным объемом выпуска. Доля такого приращения, приходящаяся на одну единицу начального валового выпуска, определяется равенством

Введем величину Тогда уравнение (5.3.4) можно написать в виде

Представление динамики производства в подобном виде будет использовано нами в следующем параграфе. Заметим, что более адекватным описанием динамики производства, чем (5.3.4), представляется равенство

где - отнесенный к моменту t временной лаг,

Обозначим и составим матрицы

с помощью которых систему (5.3.1)-(5.3.5) перепишем в виде

(5.3.6)

Неравенства вида (5.3.6) в математической экономике называются условиями неймановского типа. Их смысл заключается в том, что затраты нынешнего периода не превышают выпуска предыдущего периода.

Поиск по сайту: