Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Решение задачи фирмы. Геометрическая иллюстрация



Пусть в задаче (3.5.1) производственная функция f дважды дифференцируема в и удовлетворяет условиям (3.2.2)-(3.2.3) . Для нахождения ее оптимального решения (относительно затрат) построим функцию Лагранжа

где и выпишем необходимые условия Куна-Таккера:

(стационарность)

(дополняющая нежёсткость)

(допустимость)

В силу предположения о выполнении (3.2.3) эти условия становятся и достаточными условиями оптимальности. Упростим их, предположив . Содержательно это означает необходимость затрат всех видов. Это условие не является жестким, так как в случае можно было исключить ресурс k-го вида из рассмотрения, сократив тем самым размерность пространства затрат.

С учетом последнего предположения из условия дополняющей нежесткости следует . Заметим сразу, что это не противоречит условию о невозможности одновременного равенства нулю всех множителей Лагранжа - оно является следствием изменения условия задачи (3.5.1). В результате необходимый и достаточный признак оптимальности принимает вид:

(3.6.1)

Величину называют стоимостью предельного продукта. Поэтому (3.6.1) содержательно означает равенство стоимости предельного продукта и платы за ресурсы в точке :

Обозначим

и составим матрицу Якоби для системы (3.6.1):

Из алгебры известно, что если матрица Якоби невырожденна, то система (3.6.1) имеет решение. Здесь невырожденность следует из условий (3.2.2)-(3.2.3) . Таким образом, система (3.6.1) разрешима и оптимальное решение задачи (3.5.1) может быть выражено как функция параметров : :

. (3.6.2)

В координатной форме имеем функций спроса на затраты

выражающих оптимальные объемы затрат в зависимости от цен.

Интересно заметить, что спрос не зависит от масштаба цен, точнее, от пропорционального изменения цены продукции и цен ресурсов. Действительно, из (3.5.1) для любых имеем:

Так как постоянный коэффициент не влияет на максимизацию функции P по x, то задача

имеет такое же оптимальное решение, что и задача (3.5.1). Следовательно,

и функции спроса на затраты являются однородными нулевой степени функциями.

Подставляя решение (3.6.2) в производственную функцию f, получаем выпуск как функцию от тех же параметров:

. (3.6.3)

Это есть функция предложения готовой продукции. Так как

то функция предложения также является однородной нулевой степени функцией, т.е. объем предложения товара остается неизменным при повышении (снижении) цен на ресурсы, если в той же пропорции повышается (снижается) цена готовой продукции.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию оптимального решения (3.6.2) задачи (3.5.1) в пространстве затрат. Для этого введем два геометрических понятия - изокванты и изокосты.

Рис. 3.3 Изокванта

 

Определение 3.2. Изоквантой (производственной функции называется геометрическое место всех векторов затрат , использование которых приводит к одному и тому же объему выпуска продукции .

Таким образом, изокванта - это линия уровня производственной функции. Для различных уровней выпуска линии уровня заполняют все пространство затрат и составляют карту изоквант. Для примера на Рис.3.3 приведен вид изоквант производственной функции Кобба-Дугласа.

Рис. 3.4 Особая область

 

Пусть производственная функция дифференцируема по обеим переменным. Тогда вдоль изокванты имеем:

.

Отсюда находим отношение:

(3.6.4)

Следовательно, наклон изокванты производственной функции выражается через отношение предельных продуктов. Дальнейшие геометрические построения, связанные с изоквантами, проведем на (Рис.3.4). Имея карту изоквант , проведем касательные к каждой из них с наклоном Эти касательные проходят параллельно к оси . Так как изокванты заполняют все пространство , то, соединяя точки касания, получим непрерывную линию Г-1, которую назовем границей первого ресурса.

Аналогично проведем касательные к изоквантам с наклоном Эти касательные проходят параллельно к оси . Соединяя точки касания, получаем непрерывную линию Г-2, которую назовем границей второго ресурса.

Построенная область в , заключенная между линиями Г-1 и Г-2, называется особой областью. Она характеризуется неотрицательностью обоих предельных продуктов , так как для неположителен. Можно показать, что в особой области справедливы и неравенства (3.2.3), т.е. это та область затрат, где выполнен закон убывающей доходности. Пользуясь условиями (3.2.3), можно доказать, что особая область является выпуклым подмножеством пространства затрат.

Граница первого ресурса Г-1 является геометрическим местом минимального количества затрат , необходимых для производства различных уровней выпуска. Например, для производства продукции в размере необходимо затратить первый ресурс как минимум в единиц (Рис. 3.4 ). Точно также, граница второго ресурса Г-2 является геометрическим местом минимального количества затрат , необходимых для производства различных уровней выпуска. Например, чтобы произвести продукцию в количестве , необходимо как минимум единиц второго ресурса.

Определение 3.3. Изокостой называется геометрическое место векторов затрат, для которых издержки производства постоянны:

Рис. 3.5 Изокосты

 

Для двухфакторного производства изокоста задается уравнением

.

Так как цены и предполагаются заданными, дифференцируя последнее уравнение, находим:

(3.6.5)

Следовательно, для разных констант изокосты являются параллельными линиями с одним и тем же наклоном (Рис. 3.5) и этот наклон выражается через отношение цен на ресурсы.

Сравнивая (3.6.4) и (3.6.5), получаем

(3.6.6)

Покажем, что равенство (3.6.6) достигается именно в точке , являющейся решением задачи (3.5.1). Из (3.6.1) в случае двухфакторного производства имеем:

Деля первое равенство на второе почленно, получаем

 

 

Рис. 3.6 Долгосрочный путь расширения

 

 

Рис. 3.7 Краткосрочный путь

 

Сопоставляя полученное равенство с (3.6.4) и (3.6.5), приходим к выводу: совпадение наклонов изокванты и изокосты имеет место в одной и той же точке , являющейся оптимальным решением задачи (3.5.1) , и эта точка, конечно, является точкой касания изокосты и изокванты (Рис.3.6 ).

Так как изокванты и изокосты заполняют все пространство затрат, соединяя все точки их касания, получаем непрерывную линию. Очевидно, эта линия расположена в особой области, изображенной на рисунке 3.4, и потому чем дальше на ней расположена точка , тем больше соответствующие значения затрат и выпуска. Поэтому данная линия называется долгосрочным путем расширения производства. Таким образом, геометрическое место пересечений изоквант и изокост показывает оптимальный сценарий развития производства. Этот путь описывает, с одной стороны, затраты, максимизирующие прибыль фирмы, при любом фиксированном уровне издержек, с другой - затраты, минимизирующие издержки, при заданном уровне выпуска. Поэтому долгосрочный путь расширения иногда называют кривой издержек, имея в виду, что вдоль нее оптимальные издержки выражаются как функция от выпуска.

В случае краткосрочной задачи (3.5.2) (или (3.5.3)) необходимый и достаточный признак оптимальности будет иметь более сложный, чем (3.6.1), вид из-за наличия ограничений. Однако и в этом случае при выполнении условий (3.2.2)-(3.2.3) краткосрочный путь расширения, как геометрическое место векторов оптимальных затрат, будет проходить в особой области. Причем можно высказать гипотезу о том, что если множество допустимых затрат X (см. задачу (3.5.2)) краткосрочной задачи имеет непустое пересечение с долгосрочным путем расширения, то краткосрочный путь расширения совпадает (в области X) с долгосрочным путем, т.е. он является частью долгосрочного пути расширения (в случае см. Рис. 3.7).

Если эта гипотеза верна, то для каждой точки на краткосрочном пути существует такое постоянное число , что изокоста и изокванта из долгосрочной задачи будут иметь точкой касания точку . Последнее означает совпадение краткосрочной и долгосрочной кривых издержек, что говорит о согласованности

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.