В предыдущих параграфах было показано, как с помощью производных двух первых порядков изучаются общие свойства функции. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить представление о характере функции и, в частности, построить ее график.
Исследование функции целесообразно проводить по следующей схеме.
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Исследовать функцию на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
5. Найти интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на которых или ).
6. Найти асимптоты графика функции.
7. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.
8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.
9. Построить график функции.
Пример
Исследовать функцию и построить ее график.
1. Область определения функции .
2. Функция нечетная: . График функции симметричен относительно начала координат
3. Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
С осью Оу: , точка .
С осью Ох: , , , .
5. Точки , и разбивают ось Ох на четыре интервала.
при ;
при ;
при ;
при .
6. Так как функция является непрерывной, то ее график не имеет вертикальных асимптот.
.
Наклонной и горизонтальной асимптот нет.
7. ,
, , − критические точки.
для «↑»,
для «↓»,
для «↑».
Сведем данные в таблицу.
х
-1
+
−
+
↑
(возрастает)
mах
↓
(убывает)
min
-2
↑
(возрастает)
, ;
точка − максимум;
точка − минимум.
8. , , , .
при « »;
при « ».
х
−
+
(выпуклый)
(точка перегиба)
(вогнутый)
Точка − точка перегиба.
9. График функции (рис.5.12)
Рис. 5.12
Упражнения
Найти интервалы возрастания и убывания функций:
1.
;
Ответ: − убывает;
− возрастает.
2.
;
Ответ: − убывает;
− возрастает.
3.
;
Ответ: − убывает;
− возрастает.
4.
;
Ответ: − возрастает;
− убывает.
Найти экстремумы функций:
5.
;
Ответ: нет экстремума.
6.
;
Ответ: минимум,
максимум.
7.
;
Ответ: максимум,
минимум.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанных отрезках:
8.
на ;
Ответ: наибольшее,
наименьшее.
9.
на
Ответ: наименьшее,
наибольшее.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графиков функций:
10.
Ответ: − выпуклость,
− вогнутость,
− точка перегиба.