Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Основные теоремы дифференциального исчисления



Знание производной некоторой функции позволяет делать заключение о поведении самой функции. В основе различных приложений понятия производной лежат несколько теорем, называемых основными теоремами дифференциального исчисления.

 

Теорема(теорема Ферма*).

Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .

 
 

 

 


Рис. 4.2

 

Геометрически это означает, что в точке с абсциссой ( ) касательная к графику функции параллельна оси Ох (рис. 4.2).

 

Теорема(теорема Ролля*).

Если функция

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) имеет производную на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. ,
то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с, в которой производная данной функции равна нулю, т.е. .

 

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (рис.4.3).

 

 
 

 

 


Рис. 4.3

 

Теорема(теорема Лагранжа*).

Если функция

1) непрерывна на отрезке ;

2) имеет производную на интервале ,

то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с такая, что справедлива формула

или

.

 

Последнее равенство читается так: приращение функции на интервале равно произведению производной в некоторой внутренней точке интервала на приращение независимой переменной.

Эту формулу называют формулой конечных приращений.

 

Теорема(теорема Коши*).

Если функции и

1) непрерывны на отрезке ;

2) имеют производные и на интервале ;

3) производная на интервале ,

то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с такая, что справедлива формула

.

 

Теорема Коши устанавливает связь между приращениями функций на некотором отрезке и значениями их производных в некоторой точке, лежащей внутри этого отрезка.

 

4.18. Правило Лопиталя*для раскрытия неопределенностей

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей при помощи производных. Этот способ обычно называют «Правилом Лопиталя».

Напомним, что под неопределенностями понимают неопределенные выражения вида: , встречающиеся при вычислении пределов функций. Некоторые элементарные приемы раскрытия неопределенностей были даны (п.2.13).

Теперь, опираясь на теорему Коши, введем правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа и , которые являются основными видами неопределенностей.

 

Неопределенность вида

Теорема(правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть и в указанной окрестности точки . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел

,

то существует и предел , причем справедлива формула

= .

 

Теорема дает правило, сводящее вычисление предела отношения двух функций к вычислению предела отношения их производных.

 

Замечания.

1. Если производные и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и , то правило Лопиталя можно применять повторно.

Получим при этом

= .

2. При вычислении предела отношения производных допустимы различные упрощения полученных выражений, сокращение общих множителей, использование уже известных пределов.

3. Теорема справедлива и в случае, когда (
или ).

Пусть требуется найти , если .

Сделаем подстановку . Тогда, если , то . Имеем

.

 

Примеры

Найти пределы функций:

1. .

 

2. .

 

3. .

 

4. .

Неопределенность вида

Теорема(правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки ,кроме, быть может, самой точки . Пусть и в указанной окрестности точки . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел

,

то существует и предел , причем справедлива формула

= .

 

Замечания, сделанные для первой теоремы справедливы и для второй теоремы.

 

Примеры

Найти пределы функций:

1.

.

 

2. .

 

3.

.

 

Чтобы раскрыть неопределенности видов , их путем алгебраических преобразований сводят к неопределенностям типа или , после чего применяют правило Лопиталя.

Неопределенность вида

Пусть и . Требуется найти .

Перепишем искомое выражение в виде

или

и применим правило Лопиталя.

 

Примеры

Найти пределы функций:

1. .

 

2.

.

Неопределенность вида

Пусть , .

Тогда .

Сводим данное выражение к неопределенности :

Примеры

Найти пределы функций:

1.

.

 

2.

.

Неопределенности видов

Такие неопределенные выражения возникают при вычислении пределов показательно-степенной функции

,

когда имеет место один из трех случаев:

а) , ;

;

б) , ;

;

в) , ;

.

В этих случаях поступают следующим образом:

1) логарифмируют функцию, стоящую под знаком предела,
т.е., если

,

то

;

2) вычисляют предел

.

Предел представляет собой неопределенность уже изученного типа . Ее раскрываем сведением к неопределенностям вида или и применяем правило Лопиталя.

Следует заметить, что вычисляется предел не от заданной функции, а от ее логарифма.

3) Находят предел функции у.

Пусть или (в силу непрерывности логарифмической функции).

Тогда

,

т.е.

.

 


Примеры

Найти пределы функций:

1.

; ;

.

;

; .

 

2. .

; ;

;

;

.

 

3. .

; ;

;

;

.

Упражнения

Пользуясь основными правилами дифференцирования, найти производные функций:

1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. 12. .

 

Применив правило дифференцирования сложной функции, найти производные функций:

13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ; 20. ;
21. ; 22. ;
23. ; 24. .

 

Найти производные для функций, заданных параметрически:

25. ; 26. ;
; 28. .

 


Найти производные указанных порядков для функций:

29. ? 30. ?
31. ? 32. ?

 

Найти дифференциалы функций:

33. ; 34. ;
35. ; 36. .

 

Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

37. ; Ответ: 1;
38. ; Ответ: ;
39. ; Ответ: ;
40. ; Ответ: 0;
41. ; Ответ: ;
42. ; Ответ: 0;
43. ; Ответ: ;
44. ; Ответ: ;
45. ; Ответ: 1;
46. ; Ответ: 1;
47. ; Ответ: 1.

 


* П.Ферма (1601−1665) – французский математик.

* М.Ролль (1652−1719) – французский математик.

* Ж.Лагранж (1736−1813) – французский математик.

* О.Коши (1789−1859) – французский математик.

* Г.Лопиталь (1661−1704) – французский математик.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.