Нерівноточних вимірювань однієї величини

Мета роботи:практичне застосування формул математичного опрацювання нерівноточних вимірювань однієї величини; засвоєння методу визначення найбільш надійного або вірогіднішого значення вимірюваної величини та оцінки точності вимірювань.

Вихідні дані. Видаються викладачем за індивідуальним номером варіанту.

Зміст роботи. В результаті повторних нерівноточних вимірювань однієї величини X, істинне значення якої є невідомим, отриманий ряд результатів

із середніми квадратичними похибками

.

Необхідно обчислити найбільш надійне значення вимірюваної величини X, обчислити середні квадратичні похибки одиниці ваги і загальної арифметичної середини результатів вимірювань. Оцінити їх надійність.

Порядок роботи

1. Обчислити ваги результатів нерівноточних вимірювань за формулою

де – середня квадратична похибка результату вимірювання;

– коефіцієнт пропорційності, який може набувати довільних значень.

Коефіцієнт обирають таким чином, щоб значення ваг були близькими до одиниці, наприклад, використовуючи формулу

де – друга за величиною найбільша середня квадратична похибка;

– друга за величиною найменша середня квадратична похибка.

2. Обчислити вірогідніше значення вимірюваної величини, як загальну арифметичну середину результатів вимірювань, за формулою

де – результат вимірювання;

– вага результату вимірювання.

Якщо кількість вимірювань є достатньо великою, то замість формули (14) на практиці застосовують більш зручну формулу

де – так званий «умовний нуль», тобто найменше значення з приведеного ряду результатів вимірювань, або інше доцільно обране значення таким чином, щоб різниці (3) були малими величинами.

Щоб не накопичувати похибки заокруглення, загальну арифметичну середину обчислюють з числом десяткових знаків на три більшим, ніж в результатах вимірювань . Потім заокруглюють це значення, залишаючи таку ж кількість десяткових знаків, як у результатах вимірювань. Таким чином отримують дещо зміщене значення , яке відрізняється від на малу величину , обчислену за формулою (4).

3. Обчислити поправки, тобто відхилення результатів вимірювань від загальної арифметичної середини за формулою (5).

Так як обчислення поправок виконують з використанням заокругленого на величину значення загальної арифметичної середини, замість вірогідніших поправок отримують їх зміщені значення. Які, в свою чергу, також відрізняються від вірогідніших на величину . Тому контролем обчислення поправок слугує не четверта властивість загальної арифметичної середини [2], а рівність

4. Двічі, з урахуванням виразу

обчислити емпіричну середню квадратичну похибку одиниці ваги за формулою

5. Так як емпірична середня квадратична похибка одиниці ваги, обчислена за формулою (18), є величиною наближеною, то необхідно оцінити її надійність. Тобто обчислити середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки. Для цього застосовують формулу

6. Обчислити середню квадратичну похибку загальної арифметичної середини за формулою

7. Оцінити надійність середньої квадратичної похибки арифметичної середини за формулою

Задача. Виконано 15 серій вимірювань довжини лінії світлодалекоміром. В кожній серії виконано різну кількість прийомів. Середнє значення довжини лінії в кожній серії і її середня квадратична похибка приведені в табл. 2. Виконати математичне опрацювання результатів нерівно точних вимірювань і оцінити їх надійність.

Таблиця 2 – Результати математичного опрацювання нерівноточних вимірювань

№	м.	мм.		мм.			мм.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	312.664	1.7	3.8		91.2	2188.8	-8	-30.4	243.2
	312.657	2.6	1.6		27.2	462.4	-1	-1.6	1.6
	312.649	3.1	1.1		9.9	89.1		7.7	53.9
	312.647	4.5	0.5		3.5	24.5		4.5	40.5
	312.667	3.2	1.1		29.7	801.9	-11	-12.1	133.1
	312.651	1.2	7.6		83.6	919.6		38.0	190.0
	312.653	5.6	0.4		5.2	67.6		1.2	3.6
	312.643	1.7	3.8		11.4	34.2		49.4	642.2
	312.64	2.3	2.1		0.0	0.0		33.6	537.6
	312.654	4.5	0.5		7.0	98.0		1.0	2.0
	312.668		1.2		33.6	940.8	-12	-14.4	172.8
	312.655	2.2	2.3		34.5	517.5		2.3	2.3
	312.659	1.4	5.6		106.4	2021.6	-3	-16.8	50.4
	312.66	0.9	13.6		272.0	5440.0	-4	-54.4	217.6
	312.671	3.5	0.9		27.9	864.9	-15	-13.5	202.5
Σ			46.1		743.1	14470.9		-5,5	2493.3

Находимо коефіцієнт пропорційності , використовуючи вираз (13)

За формулою (12) обчислюємо ваги вимірювань і підраховуємо їх суму. Результати заокруглюємо до 0.1 і заносимо до табл. 2 (колонка 4).

За умовний нуль приймаємо найменший із результатів вимірювань довжини лінії, тобто

Обчислюючи за формулою (3) різниці , виражаємо їх значення в міліметрах і заносимо до табл. 2 (колонка 5).

Обчислюємо добутки , результати заокруглюємо до 0.1 і підраховуємо їх суму

Результати обчислень заносимо до табл. 2 (колонка 6). За формулою (15) обчислюємо вірогідніше значення довжини лінії

Заокруглюємо отриманий результат до 0.001 мм,

і находимо похибку заокруглення за формулою (11)

Для оцінки точності вимірювань обчислюємо зміщені поправки за формулою (5). Далі обчислюємо добутки і находимо їх суму, результати заносимо до табл. 2 (колонка 9). Виконуємо контроль розрахунків шляхом підстановки отриманих результатів у рівність (16)

Обчислюємо добутки , і їх сумарні значення. Результати заокруглюємо до 0.1 і заносимо до табл. 2 (колонки 7 і 10 відповідно).

Двічі, з урахуванням виразу (17), обчислюємо значення емпіричної середньої квадратичної похибки одиниці ваги за формулою (18)

Обчислюємо середню квадратичну похибку загальної арифметичної середини за формулою (20)

Оцінюємо надійність величин і за формулами (19) і (21) відповідно

Остаточний результат математичного опрацювання нерівно точних вимірювань довжини лінії буде таким

Поиск по сайту: