Теория Бора для водородоподобного атома, её ограниченность.

Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем - систем, состоящих из ядра с зарядом Zeи одного электрона (например, ионы Не⁺, Li²⁺), а также теоретически вычислить постоянную Ридберга.

Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в водородоподобной системе, ограничиваясь круговыми стационарными орбитами. Решая совместно уравнение (208.1) m_ev²/r = Ze²/(4pe₀r²),предложенное Резерфордом, и уравнение (210.1), получим выражение для радиуса n-й стационарной орбиты:

(212.1)

где n = 1, 2, 3, ... . Из выражения (212.1) следует, что радиусы орбит растут пропорционально квадратам целых чисел.

Для атома водорода (Z = 1) радиус первой орбиты электрона при n = 1, называемый первым воровским радиусом(а), равен

(212.2)

что соответствует расчетам на основании кинетической теории газов. Так как радиусы стационарных орбит измерить невозможно, то для проверки теории необходимо обратиться к таким величинам, которые могут быть измерены экспериментально. Такой величиной является энергия, излучаемая и поглощаемая атомами водорода.

Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается из его кинетической энергии (m_ev²/2) и потенциальной энергии в электростатическом поле ядра (-Ze²/(4pe₀r):

(учли, что ; см. (208.1)). Учитывая квантованные для радиуса n-й стационарной орбиты значения (212.1), получим, что энергия электрона может принимать только следующие дозволенные дискретные значения:

(212.3)

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии.

Из формулы (212.3) следует, что энергетические состояния атома образуют последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от значения n. Целое число nв выражении (212.3), определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым числом. Энергетическое состояние с n = 1 является основным (нормальным) состоянием; состояния с n > 1 являются возбужденными. Энергетический уровень, соответствующий основному состоянию атома, называется основным (нормальным) уровнем; все остальные уровни являются возбужденными.

Придавая n различные целочисленные значения, получим для атома водорода (Z= 1), согласно формуле (212.3), возможные уровни энергии, схематически представленные на рис. 294. Энергия атома водорода с увеличением nвозрастает и энергетические уровни сближаются к границе, соответствующей значению n = ¥. Атом водорода обладает, таким образом, минимальной энергией (E1 = -13,55 эВ) при n =1. максимальной (E_¥ = 0) при n = ¥. Следовательно, значение E_¥ = 0 соответствует ионизации атома (отрыву от него электрона). Согласно второму постулату Бора (см. (210.2)), при переходе атома водорода (Z= 1) из стационарного состояния n в стационарное состояние m с меньшей энергией испускается квант

откуда частота излучения

(212.4)

Воспользовавшись при вычислении R современными значениями универсальных постоянных, получим величину, совпадающую с экспериментальным значением постоянной Ридберга в эмпирических формулах для атома водорода (см. § 209). Это совпадение убедительно доказывает правильность полученной Бором формулы (212.3) для энергетических уровней водородоподобной системы.

Подставляя, например, в формулу (212.4) m =1 и n =2, 3, 4, ..., получим группу линий, образующих серию Лаймана (см. § 209) и соответствующих переходам электронов с возбужденных уровней (n =2, 3, 4, ...) на основной (m = 1). Аналогично, при подстановке m = 2, 3, 4, 5, 6 и соответствующих им значений n получим серии Бальмера, Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри (часть из них схематически представлена на рис. 294), описанные в § 209. Следовательно, по теории Бора, количественно объяснившей спектр атома водорода, спектральные серии соответствуют излучению, возникающему в результате перехода атома в данное состояние из возбужденных состояний, расположенных выше данного.

Поиск по сайту: