Вывод формул для площади произвольного треугольника

Площадь треугольника

Формулы для площади треугольника

Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Произвольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону
	Посмотреть вывод формулы	a и b – две любые стороны, С – угол между ними
	. Посмотреть вывод формулы Герона	a, b, c – стороны, p – полупериметр, формулу называют«Формула Герона»
	Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы
	Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
	Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности
	S = 2R2 sin A sin B sin C Посмотреть вывод формулы	A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности
Равносторонний (правильный) треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – сторона
	Посмотреть вывод формулы	h – высота
	Посмотреть вывод формулы	r – радиус вписанной окружности
	Посмотреть вывод формулы	R – радиус описанной окружности
Прямоугольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a и b – катеты
	Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – прилежащий острый угол
	Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – противолежащий острый угол
	Посмотреть вывод формулы	c – гипотенуза, φ – любой из острых углов

Вывод формул для площади произвольного треугольника

Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а h_a – высота, опущенная на эту сторону.

Доказательство.

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

Доказательство.

Рис. 2

Поскольку

h_a = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Доказательство.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = h_a ctg C , y = h_a ctg B ,

то

a = x + y = h_a ctg C + h_a ctg B = h_a ( ctg C + ctg B) .

Следовательно,

Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

Доказательство.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Доказательство.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

Следовательно,

Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R² sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Доказательство.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

Поэтому

a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C ,

В силу утверждения 6

что и требовалось доказать.

Поиск по сайту: