Если противовес К расположен таким образом, что точка 0 является центром тяжести, т.е. (1) где Р1 , Р2 - силы тяжести диска и противовеса (ось гироскопа считаем невесомой ); тогда результирующий момент сил, действующих на гироскоп, равен 0 ( ).
Пусть диск вращается с угловой скоростью . Момент импульса диска (гироскопа) будет равен: ( - момент инерции гироскопа).
На основании второго закона динамики для вращательного движения имеем:
, т.е.
Так как момент инерции диска есть величина постоянная, то вектор угловой скорости также постоянен. Это означает, что, при отсутствии момента внешних сил, ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве ( направлен вдоль оси).
Передвинем теперь противовес К на небольшое расстояние вправо. Равновесие нарушиться и центр тяжести гироскопа сместиться тоже вправо на расстояние . При этом возникает момент силы тяжести гироскопа, который равен
где - радиус-вектор, от точки опоры гироскопа до центра тяжести, – сила тяжести гироскопа.
Найдем связь между и . Примем точку закрепления гироскопа за начало координат. Тогда можно найти из соотношения
- новое расстояние от точки 0 до противовеса К.
С учетом соотношения (1) получим:
Так как вектор направлен вдоль оси гироскопа, то вектор М перпендикулярен оси гироскопа, т.е. . Приращение момента импульса гироскопа . Также направлено перпендикулярно к . Следовательно, за время вектор момента импульса повернется на угол (рис. 16):
И вместе с ним повернется на этот же угол и ось гироскопа.
Рис. 16
Изменение вектора за время
Так как момент силы тяжести действует постоянно и направлен все время перпендикулярно к , то ось гироскопа будет совершать вращательное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью
(2)
Вращение оси гироскопа с постоянной угловой скоростью под действием постоянного по величине момента сил называется прецессией, а называется угловой скоростью прецессии*. Это вращение тем медленнее, чем быстрее вращается вокруг своей оси гироскоп. Если в какой – то момент времени момент сил тяжести станет равным нулю, то ось гироскопа мгновенно остановится, т.е. прецессионное движение гироскопа безынерционно.
Из соотношения (2) следует, что если скорость вращения диска постоянна ( ), то отношение есть величина постоянная.
Цель работы состоит в определении угловой скорости прецессии гироскопа и проверке выполнения соотношения
(3)
где - смещение противовеса К от положения равновесия (при выводе соотношения (3) было учтено, что ).