Экономический анализ решения ЛП задач.

Приведем пример:Изделия N1 и N2 изготовляются на фрезерных станках. Для их изготовления есть 100 кг металла. Затрата металла на изготовление одного изделия N1 составляет 2 кг, а на N2-4кг. Трудоемкость изготовления 100 и 120 станкогодин соответственно для изделий N1 и N2. Мощность фрезерных станков 2000 станкогодин на период, который рассматривается. Составить план производства, которое обеспечивает получение наибольшей выручки от продажи изделий, если отпускная цена одного изделия N1 установлена 3 грн, а изделию N2-2 грн, причем , причем изделий N1 нужно изготовить не больше 40 штук, а изделий N2-не больше 20 штук.

Построим модель данной задачи: Обозначим через х₁- объем выпуска изделия №1, а через х₂ –объем выпуска изделия №2. Тогда модель имеет вид:

Приведем модель к каноническому виду:

Построим модель двойственную к данной:

Решаем исходную задачу симплекс-методом:

Баз.перем.	Решение	А1	А2	А3	А4	А5	А6
Х3
Х4		100
Х5
Х6
		-3	-2

Вводим элемент х₁. А выводим - х_4. Строим новую симплекс таблицу.

Баз.перем.	Решение	А1	А2	А3	А4	А5	А6
Х3
Х1
Х5
Х6

Получили решение задачи: Х_опт=(20,0,60,0,20,20) и Z_max=60.

Решим двойственную задачу.

. F_min=60.

Проанализируем полученные решения.

1) Дефицитные ресурсы.

Дефицитными являются те ресурсы, для которых оптимальное значение двойственной переменной отлично от нуля. У нас у₂ = отличен от нуля, значит дефицитен второй ресурс.

В исходной задаче остаткам ресурсов соответствуют дополнительные переменные, т.е. х₃,х₄,х₅,х₆. У нас х₄=0, значит дефицитен второй ресурс.

2)Рентабельность изделий.

Если при оптимальных значениях двойственных переменных некоторое ограничение превращается в строгое неравенство ,то на производство продукции затрачивается больше, чем получаемая от нее прибыль и продукция не рентабельна.

В данных условиях рентабелен выпуск первого изделия.

В оптимальном плане прямой задачи также предусмотрен выпуск только первого изделия (х₁=20, х₂=0)

3)Чувствительность.

Значение двойственных переменных показывает, на сколько изменится величина прибыли от изменения на единицу количества соответствующего ресурса. Наша задача чувствительна к изменению количества второго ресурса. (у₂= )

ЛЕКЦИЯ 7.

Транспортная задача линейного

Программирования.

Это отдельный вид задачи ЛП. Экономически эта задача формулируется так: Есть пунктов производства, на которых изготавливается однородный продукт в объеме на каждом. Есть также пунктов потребления, которые потребляют эту продукцию. Обьем потребления в каждом пункте единиц. Известна стоимость перевозки единицы продукции из любого пункта производства в любой пункт потребления - Необходимо определить объемы перевозок так, чтобы минимизировать транспортные расходы.

Обозначим через - обьем перевозки из -го пункта производства в -ый пункт потребления. Тогда целевая функция будет иметь вид:

(10)

Система ограничений состоит в том ,что вывоз продукции ограничен объемом производства, а доставка объемами потребления. Система ограничений зависит от соотношения суммарного объема производства к суммарному объему потребления. Возможны три случая:

В первом случае вся продукция из пунктов производства вывозится и доставляется потребителям в необходимом объеме. Ограничения записываются в виде равенств, т.е.

(11)

Транспортная задача в постановке 10 – 11 называется сбалансированной задачей, а вид записи – каноническим.

Во втором случае изготавливается продукции больше, чем потребляется. Т.е. ,часть продукции остается не потребленной. Ограничения задачи записываются так:

(12)

ТЗ в постановке 10, 12 называется несбалансированной, случай перепроизводства.

В третьем случае продукции, которая производится недостаточно для удовлетворения спроса. Т.е. не все потребители получат достаточное количество продукции. Ограничения задачи запишутся так:

(13)

ТЗ в постановке 10, 13 называется несбалансированной, случай недопотребления.

Любая несбалансированная задача может быть приведена к сбалансированной. Для случая перепроизводства вводится фиктивный потребитель, который заберет весь остаток не потребленной продукции. А практически это означает, что продукция останется на складах предприятий производителей.

Для случая недопроизводства вводится фиктивный производитель, который условно дает всю не достающую продукцию. А практически это означает, что потребители не дополучили продукцию. Ввод фиктивного потребителя или фиктивного производителя это абсолютно математический прием, который нужен для возможности решения задачи.

Таким образом, если

1) , то вводим фиктивного потребителя

2) , то вводим фиктивного производителя

И так чтобы начать решение транспортной задачи мы должны представить ее в сбалансированном виде ( каноническом виде).

Планом ТЗ будет матрица, в которой соблюдается баланс строк и столбцов.

Начальный опорный план может быть определен разными способами. Наиболее распространенными из них являются метод северо – западного угла и метод наименьшего элемента. Рассмотрим на примере эти два метода.

Пример:

Задача не сбалансирована. Случай перепроизводства. Вводим фиктивного потребителя. . Получаем сбалансированную задачу.

Построим начальный опорный план методом северо-западного угла:

Построим начальный опорный план методом минимального элемента:

Решить транспортную задачу можно используя метод потенциалов или используя программу Excel.

Проанализируем план ТЗ построенный методом минимального элемента.

ЛЕКЦИЯ 9.

Поиск по сайту: