Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x → a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b. Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x → a.
Введем строгое определение предела функции.
Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a, то пишут или f(x) → b при x → a.
Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a| < δ должно следовать неравенство |f(x) - b| < ε, т.е. при x Î (a - δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) Î (b - ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точек x, лежащих в δ – окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = b – ε и y = b + ε.
Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x → a функция имеет предел, то он единственный.
Теоремы о пределах суммы, произведения, частного двух функций. Первый и второй замечательные пределы. Примеры вычисления.
Теоремы:
1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов: .
Доказательство:
Пусть , . Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать: и . Следовательно, , где - бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций). Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать , или .
2)Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: .
Доказательство:
Пусть , . Тогда и . Следовательно
,
.
Выражения в скобках, по свойствам бесконечно малых функций, - бесконечно малая функция. Тогда , т.е. .
2)Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен: .
Доказательство:
Пусть , . Тогда и . Тогда . По свойствам бесконечно малых функций, второе слагаемое – бесконечно малая функция.