Дифференциальное исчисление Функции

Нескольких переменных

Основные понятия

Переменная называется функцией двух переменных и , если каждой паре чисел из некоторого множества по определенному правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной .

При этом переменные и называются независимыми переменными или аргументами, а – зависимой переменной или функцией. Функциональная зависимость обозначается:

.

Областью определения функции называется множество точек плоскости , в которых данная функция определена. Частное (числовое) значение функции при , , обозначается: .

Аналогично определяются функции от большего числа переменных:

.

Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек области определения функции, отличных от и сходящихся к , последовательность значений функции сходится к . В этом случае пишут: .

Если , то функция называется непрерывной в точке .

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Частные производные

Пусть в некоторой области задана функция двух переменных . Возьмем произвольную точку в этой области и дадим приращение , оставляя значение неизменным. При этом функция получит приращение

.

Оно называется частным приращением этой функции по .

Предел отношения

,

если он существует и конечен, называется частной производной функции по переменной в точке .

Частную производную по от функции обозначают символами:

; , ; .

Аналогично, считая постоянной и давая приращение , получим частное приращение функции по :

.

Предел отношения

,

называется частной производной функции по переменной .

Частную производную по от функции обозначают символами:

; , ; .

Вычисление частных производных по (по ) от конкретных функций производится по правилам известным для функции одной переменной, т.к. частная производная функции рассматривается как производная функции одной переменной (соответственно ) при постоянном значении другой переменной.

Пример 3.1. Для функции найти значение частных производных в точке .

Решение. Частные производные функции:

; .

; .

Полный дифференциал

Полным приращением функции называется разность:

.

Линейная часть приращения функции относительно приращений аргументов и называется ее полным дифференциалом и обозначается символом или .

Полный дифференциал функции находится по формуле:

,

где , .

При достаточно малых и

.

Пример 3.2. Дана функция . Используя дифференциал функции, вычислить приближенно .

Решение. Найдем частные производные функции

; ; .

Примем:

и ;

и .

Вычислим:

; .

.

Формула для приближенного вычисления с помощью дифференциала имеет вид:

.

Тогда

.

Поиск по сайту: