Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки , лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальной асимптотой является прямая , проходящая через точку разрыва функции.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид:
, (2.6)
где ; .
Прямая является горизонтальной асимптотой, если существует конечный предел функции при или (горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты при ).
Пример 2.14.Найти асимптоты кривой .
Решение.Кривая имеет вертикальную асимптоту (в точке функция не существует). Найдем наклонные асимптоты .
;
.
Таким образом, – наклонная асимптота
Исследование функции и построение графика
Общее исследование функции и построение ее графика выполняется по следующей схеме:
1. Найти область определения.
2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной, периодической.
3. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.
4. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции и его точки перегиба.
5. Найти асимптоты графика функции.
6. Построить по полученным результатам график функции.
Пример 2.15.Исследовать функцию и построить график.
Решение.
1. Область определения : ; . Функция существует на интервалах: .
2. – условие четности; – условие нечетности
, т.е. .
Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
3. Находим первую производную
.
Найдем критические точки. Первую производную приравняем к нулю
.
Таким образом, это критические точки. На числовую ось нанесем критические точки и точки разрыва.
Определим промежутки возрастания и убывания, точки экстремума (по знаку первой производной)
0 3
Поскольку на интервалах , то функция на них убывает, поскольку на интервале , то функция возрастает на этом интервале.
– точка минимума, – точка максимума.
Найдем экстремум функции
– ; – .
4. Находим вторую производную.
.
Найдем критические точки: .
Таким образом, – критическая точка.
Определим знак на промежутках
0
На интервалах – график функции вогнутый. На интервалах – выпуклый. Точка – точка перегиба.
5. и – вертикальные асимптоты (прямые, проходящие через точки разрыва).