Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Асимптоты графика функции



 

Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки , лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальной асимптотой является прямая , проходящая через точку разрыва функции.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид:

, (2.6)

где ; .

Прямая является горизонтальной асимптотой, если существует конечный предел функции при или (горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты при ).

Пример 2.14.Найти асимптоты кривой .

Решение.Кривая имеет вертикальную асимптоту (в точке функция не существует). Найдем наклонные асимптоты .

;

.

Таким образом, – наклонная асимптота

 

 

Исследование функции и построение графика

 

Общее исследование функции и построение ее графика выполняется по следующей схеме:

1. Найти область определения.

2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной, периодической.

3. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

4. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции и его точки перегиба.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Построить по полученным результатам график функции.

Пример 2.15.Исследовать функцию и построить график.

Решение.

1. Область определения : ; . Функция существует на интервалах: .

2. – условие четности; – условие нечетности

, т.е. .

Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Находим первую производную

.

Найдем критические точки. Первую производную приравняем к нулю

.

Таким образом, это критические точки. На числовую ось нанесем критические точки и точки разрыва.

Определим промежутки возрастания и убывания, точки экстремума (по знаку первой производной)

 

 

0 3

 

Поскольку на интервалах , то функция на них убывает, поскольку на интервале , то функция возрастает на этом интервале.

– точка минимума, – точка максимума.

Найдем экстремум функции

; .

4. Находим вторую производную.

.

Найдем критические точки: .

Таким образом, – критическая точка.

Определим знак на промежутках

 

 

0

На интервалах – график функции вогнутый. На интервалах – выпуклый. Точка – точка перегиба.

5. и – вертикальные асимптоты (прямые, проходящие через точки разрыва).

Найдем наклонные: .

– наклонная асимптота.

6. Строим график функции (рис. 2.2.)

 

                                                 
                            4,5                        
                                                   
                                                   
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
              – 3                    
                                 
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                      -4,5                            
                                                 
                                         
                                         
                                         

Рисунок 2.2 – График искомой функции

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.