Производные и дифференциалы высших порядков

Производной второго порядка, или просто второй производной, заданной функции называется производная от ее производной . Для обозначения второй производной пользуются символом , или .

Дифференцируя вторую производную, получим третью производную функции и т.д.

Вообще производной -ого порядка или -ой производной от функции, называется производная от ее -ой производной:

. (2.5.1)

Пример 2.6.Дана функция . Найти .

Решение.Определяем последовательно,

.

; ; ; .

Дифференциал -ого порядка равен произведению производной -ого порядка на -ую степень дифференциала аргумента

. (2.5.2)

Пример 2.7.Дана функция . Найти .

Решение. Определим вначале .

;

.

На основании формулы (2.5.2), получим

.

Исследование функций и построение графиков

Промежутки монотонности функции

Функция называется возрастающей(убывающей) в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большому значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Интервалы, на которых функция возрастает (убывает), называются интервалами монотонности функции.

Монотонность функции характеризуется знаком ее первой производной :

§ если в некотором промежутке , то функция возрастает;

§ если в некотором промежутке , то функция убывает.

Таким образом, чтобы найти промежутки монотонности функции , надо:

1) найти нули и точки разрыва производной функции ;

2) определить знак на каждом промежутке.

Пример 2.8.Найти промежутки монотонности функции

.

Решение.Дифференцируя данную функцию, находим

.

Найдем нули и точки разрыва функции

.

– не существует .

Эти точки делят числовую ось на 4 промежутка: ; .

0

Методом проб определим знак на каждом промежутке:

§ на имеем ;

§ на имеем ;

§ на имеем ;

§ на имеем .

Таким образом, в промежутках и функция возрастает, в промежутках и – убывает.

Экстремум функции

Пусть функция непрерывна на некотором интервале , содержащем точку .

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство

.

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех этой окрестности выполняется неравенство

.

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума.

Функция на данном промежутке может иметь несколько экстремумов, причем некоторые из минимумов функции могут быть больше некоторых из ее максимумов.

Точками экстремума могут служить только точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная обращается в нуль или терпит разрыв. Такие точки называются критическими точками I-го рода.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная меняет знак, а именно, если при переходе через критическую точку в положительном направлении знак меняется с плюса на минус, то точка – точка максимума, если с минуса на плюс – минимума.

Правило нахождения экстремума функции:

1. Находим первую производную.

2. Находим нули и точки разрыва .

3. Определим знак производной в полученных промежутках.

4. Находим точки экстремума.

5. Находим значение функции в точках экстремума.

Пример 2.9.Найти экстремум функции .

Решение. Функция определена на всей числовой оси.

1. Находим производную:

;

2. Находим нули и точки разрыва производной:

.

– не существует, если .

3. Точки разрыва и нули функции нанесем на числовую ось и определим знаки производной на промежутках

– 4 0

4. Таким образом, точки и – являются точками экстремума, причем – точка минимума, – максимума.

5. Найдем значение функции в точках экстремума:

.

В точке экстремума нет, т.к. знака при переходе через точку не меняет.

Следует отметить, что точки, в которых производная обращается в ноль, иногда проще исследовать на экстремум, выяснив знак второй производной (второй достаточный признак): точка , в которой , а существует и отлично от нуля, является экстремальной, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если .

Пример 2.10. Найти экстремумы функции .

Решение. Область определения вся числовая ось. Найдем первую производную

.

Найдем нули производной

;

;

;

.

Найдем вторую производную

.

Найдем знак второй производной в критических точках

.

Таким образом, – точки минимума, – точка максимума. Найдем экстремумы функции

;

.

Поиск по сайту: