Раскрытие неопределенностей

При нахождении предела подстановка в заданное выражение предельного значения аргумента часто приводит к неопределенным выражениям вида . Нахождение предела функции в этих случаях называется раскрытием неопределенности, для этого следует проводить преобразования данного выражения.

Техника вычисления пределов

а) Предел отношения многочленов и при стремлении аргумента к бесконечности (неопределенность ) находят путем почленного деления числителя и знаменателя на старшую степень, при этом получают:

Пример 1.1.Найти .

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на :

,

т.к. ; ; .

б) Для раскрытия неопределенности следует выделить критический множитель (множитель, предел которого равен нулю) и сократить.

Пример 1.2. Найти .

Решение.

.

в) Если при раскрытии неопределенности выражение имеет иррациональность, надо перенести эту иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, выделить критический множитель и сократить.

Пример 1.3.Найти .

Решение.

г) Если при раскрытии неопределенности выражение содержит тригонометрические функции, то следует использовать первый замечательный предел:

Пример 1.4.Найти .

Решение.

.

д) Неопределенность раскрывают приведением к общему знаменателю или домножением на сопряженное выражение.

Пример 1.5.Найти .

Решение.

е) Для раскрытия неопределенности используется второй замечательный предел:

или .

Пример 1.6.Найти .

Решение.

.

Непрерывность функции

Функция , определенная в некоторой окрестности точки называется непрерывнойв точке , если предел функции при равен значению функции в точке :

.

Если функция определена в окрестности точки и не является непрерывной в этой точке, то ее называют разрывной в точке , а точку называют точкой разрывафункции .

Точка разрыва функции называется точкой разрыва первого рода, если функция имеет конечные пределы справа и слева в этой точке.

Если, по крайней мере, хотя бы один из пределов справа или слева не существует, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Пример 1.7.Найти точки разрыва функции .

Решение. Функция определена всюду, кроме . Следовательно, эта точка является точкой разрыва. Чтобы исследовать ее характер, найдем левый и правый пределы этой функции.

.

Следовательно, – точка разрыва 2-ого рода.

Пример 1.8.Дана функция

Найти ее точки разрыва.

Решение. Вычислим односторонние пределы функции в точке 0.

.

Поскольку односторонние пределы исследуемой функции в точке конечны, то – точка разрыва 1-ого рода. Вычислим односторонние пределы в точке .

.

Таким образом, , т.е. в точке исследуемая функция непрерывна.

2. Дифференциальное исчисление

функций одной переменной

Производная функции

Рассмотрим функцию . Пусть – некоторое значение аргумента, – соответствующее значение функции. От значения переходим к другому значению аргумента . Разность (обозначим через ) называется приращением аргумента. Значение функции, соответствующее значению аргумента , равно . Разность называется приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , и обозначается или :

(2.1.1)

Рисунок 2.1 – Геометрическая интерпретация приращения функции

Производнойфункции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (т.е. ) при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.

Производная функции в точке обозначается символами или . Т.о., по определению

(2.1.2)

Таблица производных

1. ;	;	10. ;	;
2. ;	;	11. ;	;
3. ;	;	12. ;	;
4. ;	;	13. ;	;
5. ;	;	14. ;	;
6. ;	;	15. ;	;
7. ;	;	16. ;	;
8. ;	;	17. ;	;
9. ;	;	18. ;	.

Поиск по сайту: