Согласно закону парности касательных напряжений

Введение

Настоящее пособие предназначено для студентов и слушателей, изучающих дисциплину «Защита в чрезвычайных ситуациях». Оно может служить в качестве научно-методической основы при решении задач обеспечения безопасности людей и устойчивости функционирования объектов экономики в условиях чрезвычайных ситуаций, обусловленных опасными природными процессами. Для этого необходимы, прежде всего, знания физики природных катастроф и стихийных бедствий, умение определять основные поражающие факторы таких явлений, оценивать негативные последствия их воздействия на людей и объекты экономики, прогнозировать очаг поражения и оценивать обстановку в очаге поражения, знание основных мер безопасности.

Под опасными природными процессами обычно подразумевают природные катастрофы и стихийные бедствия, сопровождающиеся гибелью людей и большим экономическим ущербом. К ним относят: землетрясения; оползни; обвалы; снежные лавины; вулканические извержения; наводнения на реках и морских побережьях; вихревые течения в атмосфере, приводящие к ураганным ветрам; пыльные и снежные бури; грозовые разряды-молнии; лесные, торфяные и степные пожары; массовые заболевания людей, животных и растений; падение на нашу планету космических тел и т.д.

Такие катастрофы и стихийные бедствия в истории Земли отмечены неоднократно. Легенды о гибели Атлантиды, Всемирном потопе, засыпанные песками пустынь древние города Средней Азии, погребенные под слоем вулканического пепла города Помпеи, Геркулантум, Стабия в Италии – свидетельства грозных природных явлений. О масштабах потерь и человеческих трагедий можно получить представление по следующим данным.

При извержении вулкана Кракатау в 1883 г., сопровождавшемся взрывом, погибло 200 тыс. человек. При землетрясении в Китае в 1923г. (провинция Нинся) погибло около 200 тыс. человек, в 1976 г. (Таншань) – 243 тыс. человек. Большую опасность представляют массовые заболевания людей. Эпидемия чумы в Европе в Х1V веке унесла 25 млн. человеческих жизней, то есть умер каждый четвертый житель этой части света, эпидемия гриппа в Западной Европе в 1918 – 1920 г. – 20 млн. жизней, то есть столько, сколько погибло в течение Первой мировой войны. По данным ООН за последние 10 лет от наводнений пострадало 150 млн. человек.

Отдельно нужно остановиться на падении крупных космических тел на нашу планету. Оценено, что при падении космического тела средним размером 1 км в густо населенном районе может погибнуть до четверти населения планеты. В истории Земли случаи падения таких и более крупных тел имели место.

Следует отметить, что изучение опасных природных процессов – это сложная научная задача. Она рассматривалась в ряде публикаций. Тем не менее, то обстоятельство, что отдельные вопросы рассматривались в разных работах, затрудняет изучение предмета. Кроме того, в отдельных случаях отмечается неполнота данных. Необходимо было проанализировать полученные результаты и адаптировать их применительно к требованиям дисциплины «Защита в чрезвычайных ситуациях».

В пособии не ставится задача объемного изложения материала по всем вопросам, поэтому отдельные темы, которые достаточно широко освещены в имеющейся литературе, например, массовые заболевания людей, животных, растений, изложены конспективно. Более подробно рассмотрены физика землетрясений, наводнений, атмосферных вихревых движений и ряд других природных процессов, способы определения очагов поражения и оценки обстановки в очагах поражения, что потребовало привлечения отдельных положений тензорного исчисления и теории вероятностей.

Изложение материала сопровождается рисунками и таблицами, содержащими необходимые справочные данные.

Трудно излагать материал живо и интересно, если для его описания требуется серьезный математический аппарат. Тем не менее, попытка сделать его наглядным и удобным для усвоения в пособии предпринята. Но об этом, естественно, судить уважаемым читателям.

В заключении автор выражает глубокую признательность и благодарность: Ворошнину Ю.П., Карпенко А. В., Лисицину Ю.Ф., Матвееву В. В., С.А. Печенину, Розову А. Л. за помощь в подборке литературы и критические замечания, сделанные при подготовке рукописи пособия.

Глава IЗемлетрясения.

§ 1.1 Природа землетрясений и их классификация.

Землетрясения – грозные природные явления, с которыми связаны наиболее сильные катастрофы. При землетрясении, как правило, формируется обширный очаг поражения, на территории которого разрушаются и повреждаются здания, сооружения, техника, гибнут и получают травмы различной степени тяжести люди. Для определения очага поражения необходимо знать физические параметры землетрясения и категории поражения различных объектов. Ежегодно на нашей планете происходит порядка 100000 землетря­сений, из них 100…120 способны вызвать разрушения и 10…20 оказыва­ются достаточно сильными [1].

Землетрясения – это толчки и колебания земной поверхности, обу­словленные смещением горных пород и распространением по грунтовой среде упругих сейсмических волн. По механизму образования землетрясения подразделяются на об­вальные, наведенные, тектонические, вулканические и вызванные паде­нием космических тел.

Обвальные землетрясения происходят при разрушении сводов под­земных карстовых пустот, заброшенных шахт, рудников, а также обвалах, сбросах горных пород. Возникающие при этом толчки и колебания земной поверхности относительно слабы.

Наведенные землетрясения связаны с дополнительным давлением на земную кору, создаваемым строящимися крупными плотинами и водохранилищами, а также с изменением порового давления в грунтах при закачке воды в скважины и, наоборот, при интенсивном отборе воды с подземных горизонтов.

Сильное землетрясение, вызванное заполнением водохранилища, имело место в районе расположения плотины Койна в Индии. Вскоре после начала заполнения водо­хранилища здесь стали ощущаться слабые толчки и колебания земной по­верхности. Водохранилище было заполнено полностью к 1965 году, а в декабре 1967 года произошло землетрясение магнитудой 6.4, что соответ­ствует энерговыделению при землетрясении ~10¹⁴ Дж. (Определение магнитуды и связь этой величины с энергией землетрясения даются в § 3). Землетрясения меньшей интенсивности наблюдались при заполнении водохранилищ у плотин Гувер и Оровилл в США, плотины Синьфын в Ки­тае, плотины Монтэр во Франции, плотины Кремаста в Греции и в некото­рых других странах [2].

Землетрясе­ние магнитудой 5.2, что соответствует энерговыделению ~10^12.7 Дж, обусловленное закачкой загрязненной отходами воды в скважину глубиной три километра, имело место в 1967 в штате Колорадо в США. И это не единственный случай.

Тектонические землетрясения обусловлены движением земной коры. Наша планета имеет сложную структуру. Земная кора и верхняя часть мантии (субстрат) представляют собой твердую наружную оболочку – литосферу. Литосфера не сплошная оболочка. Она состоит из плит, сред­ние горизонтальные размеры которых варьируются от нескольких сотен до нескольких тысяч километров. Ниже литосферы находится горячая ман­тия. Под действием сил, обусловленных глубинными тепловыми процес­сами и вращением Земли, плиты движутся со скоростью, как правило, не­скольких сантиметров в год. В результате на границах литосферных плит возникают огромные механические напряжения, сопровождающиеся раз­рушением земных пород, – они и приводят к тектоническим землетрясе­ниям. Тектонические землетрясения – основной тип землетрясений на на­шей планете. Самые сильные из них имеют магнитуду 9.0, что соответст­вует энерговыделению ~10¹⁸ Дж. К числу сильнейших землетрясений ХХ века относят землетрясение у берегов Эквадора (1906 г., магнитуда 8.9) и землетрясение у берегов Японии (Санрику, 1933 г., магнитуда 8.9). Зем­летрясения, сопровождавшиеся большими человеческими жертвами и большим экономическим ущербом: Китай (пров. Нинся, 1920 г., магнитуда 8.6, погибло 200000 чел.), Япония (Токио, 1923 г., магнитуда 8.3, погибло 99300 чел.), Перу (Чимботе, 1970 г., магнитуда 7.8, погибло 67000 чел), Китай (Таншань, 1976 г., магнитуда 7.8, погибло 243000 чел.).

Вулканические извержения могут вызвать также тяжелые последст­вия, примером тому являются извержения вулканов Санторин на одно­именном острове в Эгейском море в 1470 году до Новой Эры, Томборо на острове Сумбава в Индонезии в 1815 году, Кракатау на одноименном ост­рове в Зондском проливе между островами Ява и Суматра в 1883 году. По­следствия этих извержений были катастрофическими. Так извержение вулкана Кракатау сопровождалось мощными взрывами, уничтожившими половину вулканического острова. В атмосферу было выброшено 19 км³ вулканической породы. Песок, пыль, обломки скал, вулканический пепел гигантским столбом поднялись на высоту до 80 км. Воздушные волны, по­рожденные взрывами, распространяясь со скоростью звука, трижды обо­гнули земной шар. Одновременно на морской акватории сформировались волны цунами высотой свыше 30 метров, поглотившие на берегах остро­вов Явы и Суматры 36 тысяч человек. Общее число погибших от ядовитых газов, пепла, лавы, падающих вулканических бомб, камней, цунами соста­вило ~200 тысяч человек [3]. Энерговыделение при извержении и взрыве вулкана Кракатау оце­нивается величиной ~10¹⁹ Дж, а вулканов Санторин и Томборо ~10²⁰ Дж [4]. Для сравнения энергия ядерного взрыва мощностью q=10⁶тонн, где q – тротиловый эквивалент взрыва, составляет 4,52×10¹⁵ Дж.

Энерговыделение при тектонических землетрясениях ~10¹⁸ Дж и извержениях вулканов ~10²⁰ Дж, по-видимому, составляет предел силы геологических пароксизмов на нашей планете. Размер их лимитирует прочность горных пород. Больших напряжений земная кора не выдержи­вает – землетрясение или вулканический взрыв снимают их.

Землетрясения в результате падения космических тел хотя и пред­ставляют собой явления более редкие, но их последствия могут быть очень тяжелыми.

В последнее время существование опасности падения на Землю ас­тероидов с характерным размером 50…100 м не вызывает сомнений. Их наблюдают астрономы в обозримом с Земли пространстве на достаточно близком расстоянии, а примерно раз в 200…300 лет такие космические тела падают на нашу планету. Последнее подобное столкновение – паде­ние Тунгусского метеорита (или фрагмента кометы) произошло в 1908 году. Характерный размер объекта составлял не более 50 м, энергия взрыва оценивается величиной ~10¹⁶ Дж. Энерговыделение при падении небесных тел с характерным размером порядка 1 км может составить величину 10²⁰…10²¹ Дж. При взрыве такой мощности в густо населенных районах нашей планеты может погиб­нуть ~ четверть населения Земли [5]. Средний интервал времени между падением таких астероидов оценивается ~500000 лет. Еще большую опас­ность представляет возможное падение космических тел с характерным размером >1 км. Так энер­говыделение при падении астероида, образовавшего 28 млн. лет тому на­зад Попигайский кратер, оценивается величиной 10²³…10²⁴ Дж.

На рис. 1. приведена частота повторяемости различных природных катастроф с энерговыделением от 10¹³ Дж до 10²³…10²⁴ Дж [4].

Из рисунка видно, что в среднем катастрофа с энерговыделением 10¹⁸ Дж может быть вызвана землетрясением 1 раз в год, вулканическим взрывом 1 раз в 200…300 лет, падением ме­теорита 1 раз в ~(50…100)×10³ лет.

Максимальное энерговыделение вулканической катастрофы при­мерно в 100 раз больше, чем при самом сильном тектоническом землетря­сении, но периодичность таких событий менее 1 за 1000 лет. Астероиды, крупные метеориты могут вызвать самую сильную на Земле катастрофу, но эти события происходят ещё реже.

§ 1.2. Строение Земли. Движение земной коры.

Земля имеет форму, близкую к сферической, слегка приплюснутую у полюсов, радиусом 6371 км. Наша планета не статична. Если это было бы не так, поверхность Земли давно была бы выровнена эрозией и стала плоской, а океан залил бы ее целиком.

Кора, мантия, ядро – главные части Земли. Некоторое представле­ние об ее строении можно получить по данным табл. 1. [6].

Строение Земли Таблица 1

По мере приближения к центру Земли температура, плотность ве­щества и давление возрастают. В центре температура составляет ~4200⁰ С, плотность ~13×10³ кг/м³, давление ~3.6×10⁸ кПа (для сравнения, плотность стали 7.9×10³ кг/м³, температура плавления 1500⁰ С).

Земная кора, гидросфера и атмосфера образовались из вещества мантии, когда-то поднявшегося к поверхности и охладившегося. Этот процесс продолжается и в настоящее время и виден, например, при извер­жениях вулканов, когда раскаленная лава, рождающаяся в мантии, выходит из недр.[2,6].

Как отмечалось в § 1.1, кора и верхний слой мантии «субстрат» образуют твердую земную оболочку – литосферу, состоящую из плит раз­личных размеров. Непосредственно под литосферными плитами находится слой горячего вязкого вещества, находящегося в особом полурасплавлен­ном (местами частично расплавленном) состоянии, называемый астено­сферой (от греческого «astes» – мягкий). Под действием сил, обусловлен­ных глубинными тепловыми процессами и вращением Земли, плиты дви­жутся по астеносфере. Основные литосферные плиты показаны на рис. 2. [2]. Направления движения плит на этом рисунке помечены стрелками. Видно, например, что Южно-Американская плита отходит от Африканской, а Се­веро-Американская – от Евразиатской. Такое движение плит связано с выдавливанием расплавленного вещества из астеносферы вверх в лито­сферу в районе Средне-Атлантического хребта, где оно остывает и обра­зует новую кору, то есть имеет место процесс разрастания океанического дна. В результате раздвигания медленно движущиеся плиты напи­рают друг на друга в других местах - при этом в зонах столкновения проис­ходят вздымаются горные системы, возникают вулканы и острова.

В разных местах плиты напирают друг на друга по-разному. На­пример, вдоль западного побережья Южной Америки плита Наска и Южно-Американская плита сталкиваются лоб в лоб. В результате первая из них отклоняется вниз и пододвигается под вторую. Этот процесс извес­тен как субдукция (поддвиг). Когда одна плита пододвигается под другую, вдоль наклонной по­верхности контакта плит, называемой зоной Беньоффа, происходят земле­трясения. Как правило, при таком движении первая из плит стремится смять и приподнять вышележащую плиту, что также ведет к образованию горных цепей и вулканов.

По мере того, как в срединно-океанических хребтах из мантии формируется новая кора, старая возвращается в мантию в зонах субдукции. Основные зоны субдукции (на рис.2. они обозначены зубчиками) расположены вдоль Алеутских островов, возле Японии, вблизи Филиппинских островов , в Индонезии, у подножья Гималаев, у западных берегов Юж­ной и Центральной Америки и в Персидском заливе.

В схематизированном виде движение земной коры показано на рис. 3.[2].

На рис. 3 толщины литосферы и астеносферы преувели­чены, чтобы показать коровые структуры.

В некоторых районах Земли плиты не сталкиваются, а скользят одна вдоль другой по разделяющей их границе. Наиболее известным при­мером такого движения является зона разлома Сан-Андреас на западной стороне Северо-Американской плиты.

Время от времени землетрясения происходят и во внутренних час­тях плит – так называемые внутриплитовые землетрясения. Они возникают из-за развития деформаций, вызванных давлением на краях плит. Напри­мер, территория Китая сдавливается с двух сторон: с востока – Тихоокеан­ской плитой, с юга – Индо-Австралийской. Наиболее вероятно, что эти воздействия несут ответственность за землетрясения в Китае, включая Таншаньское в 1976 г., которое привело к гибели большого количества людей.

Проведенный анализ материалов настоящего и предыдущего параграфов показывает сложную физическую картину возникновения землетрясений. Характерным признаком землетрясений, несмотря на различие природы их происхождения, является наличие системы упругих сейсмических волн, распространяющихся по грунтовой среде на большие расстояния. Сейсмические волны являются основным поражающим фактором землетрясений. Для количественного описания этой волновой системы необходимо привлечение определенных положений теории упругости.

§ 1.3. Некоторые сведения из теории упругости.

Особенности напряженного состояния твердого тела.

В теории упругости материал твердого тела (таким телом может быть грунтовая среда) представляется идеально упругим. Размеры и форма такого тела полностью восстанавливаются после устранения причин, вызвавших деформацию, а между деформациями и напряжениями существует линейная зависимость (закон Гука). [7].

Деформацией твердого тела называется изменение его размеров и объема, сопровождающееся обычно изменением и его формы. Деформация вызывается внешними силовыми воздействиями или изменением температуры. При деформации происходит смещение частиц тела. Этому препятствуют силы взаимодействия между ними, вследствие чего в деформированном теле возникают внутренние упругие силы – напряжения.

В строгом смысле слова напряжение – это интенсивность внутренних усилий, то есть усилие, приходящееся на единицу площади сечения тела. Напряжение называется нормальным, если упругая сила нормальна к плоскости сечения, и касательным, если она касательна к этой плоскости. Указанные напряжения часто обозначают σ и τ соответственно.

Рассмотрение зависимости деформаций с напряжениями ниже вначале приводится для важных частных случаев односторонних деформаций растяжения (сжатия) и сдвига, а также случая всестороннего сжатия тела.

Одностороннее или продольное растяжение (сжатие) состоит в увеличении (уменьшении) длины тела под действием растягивающей (сжимающей) силы F. Мерой деформации является относительное удлинение (сжатие) ε = Δl/l, где l – первоначальная длина тела, Δl – изменение длины при нагрузке F.

По закону Гука:

, (1.1)

где E – модуль Юнга; S – площадь поперечного сечения тела.

При Δl = l модуль Юнга E = F/S = σ, то есть численно равен напряжению, возникающему в теле при увеличении его длины в два раза.

Известно, что разрушение тела наступает при значительно меньших напряжениях. На рис. 4а представлена зависимость σ от ε для случая продольного растяжения тела.

Рис. 4а. Зависимость напряжения от Рис. 4б. Деформация сдвига.

относительной продольной деформации.

σ

σ_пр

σ_тек S F

σ_упр

γ

На рис. 4а обозначено: σ_упр – предел упругости, то есть напряжение, ниже которого справедлив закон Гука; σ_тек – предел текучести, то есть напряжение, при котором появляется текучесть – увеличение деформации без увеличения деформирующей силы; σ_пр – предел прочности - напряжение, при котором образуется местное сужение (шейка) и происходит разрушение тела (увеличение деформации даже при уменьшении деформирующей силы).

Относительное продольное растяжение (сжатие) тела сопровождается его относительным поперечным сужением (расширением) Δd / d, где d – поперечный размер тела.

Величина, равная отношению относительного поперечного сужения (расширения) к относительному продольному удлинению (сжатию).

: (1.2)

называется коэффициентом Пуассона. Обычно ν < 1.

Сдвигом называется деформация, при которой все плоские слои твердого тела, параллельные некоторой плоскости, смещаются параллельно друг другу. При сдвиге объем тела не меняется, рис. 4б. Сдвиг происходит под действием силы F, приложенной касательно к верхней грани; нижняя грань закреплена неподвижно. Мерой деформации является угол сдвига γ, выраженный в радианах.

По закону Гука относительный сдвиг пропорционален касательному напряжению

, (1.3)

где G – модуль сдвига.

Модуль сдвига численно равен напряжению, при котором сдвиг γ = 1.

Всестороннее сжатие тела под действием равномерно распределенного по его поверхности нормального напряжения σ приводит к уменьшению объема тела V на величину ΔV. Значение ΔV вычисляется по формуле

, (1.4)

где K – модуль объемной упругости.

Модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модули сдвига и объемной упругости связаны между собой соотношениями

; (1.5)

В общем случае под действием внешних сил в теле могут иметь место одновременно и деформации растяжения (сжатия) и сдвига; при этом напряженное состояние в рассматриваемой точке тела определяется более сложными зависимостями, чем соотношения (1.1) – (1.5), а именно тензором напряжений.

Возникновение тензорного исчисления было подготовлено в XIX веке исследованиями в области дифференциальной геометрии: геометрии поверхностей (К. Гаусс) и геометрии многомерного метрического пространства (Б. Риман). Современную форму тензорному исчислению придал итальянский математик Г. Риччи- Кубастро. Идеи Риччи первоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления (1915 – 1916 г.г.) общей теории относительности А. Энштейна, математическая часть которой целиком основана на тензорном исчислении.

Понятие о тензоре напряжений можно получить следуя рекомендациям [7].

Пусть требуется определить напряжение на наклонной площадке (по отношению к координатной системе xyz), проходящей через точку M. Для определения искомого напряжения выделим около этой точки элементарный тетраэдр MABC, рис. 5

s_x

t_xy t_yx

s_y t_zx

t_zy t_yz t_xz

s_z

Рис 5. Напряжения на гранях элементарного тетраэдра.

Грани MAB, MBC, MAC тетраэдра совпадают с координатными плоскостями xMy, yMz, xMz. Наклон грани ABC, параллельной заданой наклонной площадке, определяется величинами направляющих косинусов нормали nкграниABC.Обозначим косинусы углов между координатными осями x,y,z и направлением нормали n соответственно через l,m,n.

cos (n,x)=l, cos (n,y)=m, cos(n,z)=n.

Очевидно, при стягивании элементарного тетраэдра в точку грань ABC пройдет через точку М и напряжение на ней будут соответствовать напряжениям на заданной площадке.

В общем случае на тетраэдр могут действовать как объемные силы (например, сила инерции, сила тяжести), так и поверхностные – напряжения на его гранях.

Пусть известные составляющие напряжений, действующих по граням, совпадающим с координатными плоскостями, но напряжение r_n, действующее на наклонной грани ABC, не известно. (напряжение r_n – полное напряжение).

Напряжение r_n можно разложить на составляющие r_x, r_y, r_z, параллельные координатным осям. Обозначив площадь грани ABC через dF, нетрудно показать, что площади граней MBC, MAC и MAB будут соответственно равны ldF, mdF, ndF.

Так как тетраэдр ABC – это бесконечно малый тетраэдр, при составлении его равновесия объемными силами как бесконечно малыми более высокого порядка, чем силы, действующие на грани, можно пренебречь. Тогда из условий равновесия тетраэдра следует

r_x=s_xl+t_xym+t_xzn

r_y=t_yxl+s_ym+t_yzn ( 1.6 )

r_z=t_zxl+t_zym+s_zn

Соотношение (1.6) позволяет вычислить составляющие полного напряжения r_n на наклонной площадке, проходящей через заданную точку, по известным значениям s_x, s_y, s_z, t_xy, t_xz, t_yx, t_yz, t_zx, t_zy, составляющих напряжений в этой точке и значениям направляющих косинусов нормали к площадке l, m, n. Зная полное напряжение к этой площадке

r_n=r_x²+r_y²+r_z²

s_n=r_xl+r_ym+r_zn ( 1.7 )

t_n²=r_n² – s_n²

Следовательно, на любой наклонной площадке, проходящей через данную точку M, нормальное и касательное напряжения могут быть выражены через известные напряжения s_x, s_y …. t_zy или, иначе говоря, эти напряжения полностью характеризуют напряженное состояние в данной точке тела, они являются компанентами тензора напряжений.

Тензор напряжений обычно предствляется матрицей вида

s_x t_xy t_xz

T_н = t_yx s_y t_yz ( 1.8 )

t_zx t_zy s_z

В матрице в каждой строке компоненты тензора имеют одинаковое направление, а в каждом столбце – относятся к одной и той же площадке. Нормальные напряжения располагаются по главной диагонали матрицы.

Таким образом тензор напряжений – это величина, характеризующая напряженное состояние в рассматриваемой точке тела; компоненты тензора записываются в виде специальной матрицы.

Необходимо отметить, что в соответствие с законом парности касательных напряжений касательные напряжения с одинаковыми индексами, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках, равны друг другу по величине, то – есть [7]

t_xy=t_yx , t_xz=t_zx , t_yz=t_zy. ( 1.7 )

Следовательно, с учетом закона парности касательных напряжений напряженное состояние в точке тела характеризуется шестью компонентами напряжений по координатным осям. Обычно это компоненты

s_x, s_y, s_z, t_xy, t_yz, t_zx.

При равенстве по величине касательных напряжений (1.7) матрица (1.6) симметрицна относительно главной диагонали. Такой тензор называется симметричным.

С целью упрощения письма тензор напряжений записывается часто в виде

t₁₁ t₁₂ t₁₃

dt_ik= t₂₁ t₂₂ t₂₃ , i,k = 1, 2, 3, ( 1.8 )

t₃₁ t₃₂ t₃₃

где t₁₁=s_x , t₁₂=t_xy ….. t₃₃=s_z

Итак, напряженное состояние в точке характеризуется тензором напряжений, а напряженное состояние тела – совокупность тензоров, образующее тензорное поле.

Важным свойством тензора напряжений является возможность приведения его к главным осям и, как следствие, возможность определения главных напряжений. Главными называются такие площадки, на кторых касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями.

Пусть на наклонной площадке с нормалью n дейтсвует только нормальное напряжение sn. В этом случае полное напряжение равно нормальному, то – есть rn=sn=s, где s – главное напряжение. Составляющие полного напряжения по осям x, y, z равны r_x=sl, r_y=sm, r_z=sn. Используя соотношение (1.6) нетрудно получить

sl=s_xl+t_xym+t_xzn

sm=t_yxl+s_ym+t_yzn ( 1.9 )

sn=t_zxl+t_zym+s_zn

Система однородных относительно l, m, n уравнений может быть преобразована к виду

(s_x – s)l + t_xym + t_xzn = 0

t_yxl + (s_y – s)m + t_yzn = 0 ( 1.10 )

t_zxl + t_zym + (s_z – s)n = 0

Система (1.10) имеет отличные от нуля решения, если ее определитель равен нулю, то – есть [8]

(s_x – s) t_xy t_xz

t_yx (s_y – s) t_yz = 0 ( 1.11 )

t_zx t_zy (s_z – s)

Определитель третьего порядка (1.11) можно записать в виде

s³ – J₁s² + J₂s + J₃ =0, ( 1.12 )

где J₁ = s_x + s_y + s_z

J₂ = s_xs_y + s_ys_x + s_zs_x – t_xy² – t_yz² – t_zx²

J₃ = s_xs_ys + 2t_xyt_yzt_zx – s_xt_yz² – s_yt_zx² – s_zt_xy²

Корни этого кубического уравнения – искомые главные напряжения на главных площадках.

Для решения уравнения (1.12) используется подстановка

s = a + J₁ ( 1.13 )

Тогда уравнение (1.12) принимает вид

a³ + 3ra + 2q = 0 , ( 1.14 )

где r = (J₂ – J₁²)

q = J₁³ + J₁J₂ J₃

Дискриминант D = r³ + q² уравнения (1.14) отрицателен, следовательно, все три его корня действительны. При D < 0 для решения кубического уравнения применяют так называющий тригонометрический метод [ 7,8 ]

a₁ =2 cos j , a₂ =2 cos (j + ) , a₁ =2 cos (j – ), (1.15)

где - абсолютное значение коэффициента r;

j = arccos

Для последующего определения главных напряжений s₁, s₂, s₃ найденные значения корней a₁, a₂, a₃ подставляются в выражение (1.13)

Подставив далее каждое из напряжений s₁, s₂, s₃ в любые два уравнения (1.10) и используя геометрическое соотношение l² + +m² + n² = 1, можно определить направляющие косинусы соответствующих главных площадок.

Так как для каждой точки тела имеются только три главные площадки и соответственно три главных напряжения, то эти напряжения не зависят от выбора координат и, следовательно, коэффициенты J₁, J₂, J₃ также не зависят от выбора системы координат. Коэффициенты J₁, J₂, J₃ называют первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений. Их можно выразить через главные напряжения в виде

J₁ =s₁ + s₂ + s₃, J₂ =s₁s₂ + s₂s₃+ s₃s₁, J₃ =s₁s₂s₃ ( 1.16 )

С тензором напряжений непосредственно связана другая величина – тензор деформаций, характеризующая состояние деформированного тела в рассматриваемой точке. [7]

Тензор деформации представляет собой также симметричную матрицу, построенную из составляющих, на которые в окрестности рассматриваемой точки может быть разложена любая сложная деформация элементарного (очень малого) объема твердого тела.

Если через данную точку провести координатные оси, например x, y, z, то тензор деформаций запишется в виде

e_xx ½g_xy ½g_xz

T_Д = ½g_yx e_yy ½g_yz , ( 1.17 )

½g_zx ½g_zy e_zz

где компоненты тензора выражаются через проекции смещения W_x, W_y, W_z той же точки на оси x, y, z следующим образом

e_xx= , e_yy= , e_zz= , ( 1.18 )

g_xy= , g_yz= , g_zx=

Тензор деформаций записывают также в виде

e₁₁ e₁₂ e₁₃

de_ik = e₂₁ e₂₂ e₂₃ , i,k = 1, 2, 3,

e₃₁ e₃₂ e₃₃

где e₁₁=e_xx, e₁₂=½g_xy,…e₃₃=e_zz.

Тензор деформаций, как и тензор напряжений, может быть приведен к главным осям. Главными осями деформаций называются такие три взаимно ортогональные прямые, проходящие через точку тела, которые совпадают по направлению с линейными элементами, испытывающими при деформации только изменения длин. Деформации этих элементов называются главными деформациями в точке тела. Сдвиги в главных осях деформации равны нулю.

Главные деформации определяются по уравнениям, аналогичным (1.10) – (1.14), при замене значений напряжения на величины соответствующих деформаций [7]. Главные деформации принято обозначать через e₁, e₂, e₃. Инварианты тензора деформаций, выражение через главные деформации, имеют вид

J₁=e₁+ e₂+ e₃; J₂=e₁e₂+ e₂e₃+e₃e₁; J₃=e₁e₂e₃ ( 1.19 )

В дальнейшем потребуется значение некоторых правил действий с тензорами [9].

При сложении ( вычитании ) тензоров da_ik и db_ik, где i,k = =1,2..…. n, образуется тензор dc_ik с компонентами

c_ik= a_ik b_ik ( 1.20 )

При умножении скаляра А на тензор da_ik образуется тензор dс_ik с компонентами

с_ik= A a_ik ( 1.21 )

Тензорным произведением двух тензоров da_ik и db_ik называется тензор dс_ik с компонентами

c_ik , ( 1.22 )

где при суммировании берутся парные произведения компонентов строк первого тензора и компонентов столбцов второго тензора с одинаковыми вторыми индексами у первых и первыми индексами у вторых сомножителей соответственно.

Пример. Определить компоненты тензорного произведения dс_ik тензоров da_ik и db_ik при i,k= 1, 2, 3.

Решение. Значение dc_ik находим по формуле (1.22)

C₁₁= a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁

C₁₂= a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂

……………………………

C₃₃= a₃₁b₁₃ + a₃₂b₂₃ + a₃₃b₃₃

§ 1.4. Обобщенный закон Гука

В теории упругости различают изотропные и анизотропные среды. В первых из них упругие свойства среды одинаковы во всех направлениях, во вторых средах – упругие свойства различны по различным направлениям.

При распространении сейсмических волн, образующихся при землетрясении, грунт обычно рассматривается как изотропная среда.

В самом общем виде связь между деформациями и напряжениями в изотропной среде представляется в виде тензорного уравнения вида [7]

dt_ik= lqd_jj + mde_ik; i,k=1, 2, 3; j=1, 2, 3 ( 1.23 )

где dt_ik – тензор напряжений;

de_ik – тензор деформаций;

d_jj – единичный тензор Кронекера;

q – объемная деформация;

m, l - упругие константы Ламе.

Значения d_jj и q соответствуют

1 0 0

d_jj= 0 1 0 ( 1.24 )

0 0 1

q= e₁₁ + e₂₂ + e₃₃

Упругие константы Ламе l, m связаны с модулем Юнга E, коэффициентом Пуассона n и модулем сдвига G соотношениями

( 1.25 )

С учетом правил сложения тензоров и умножения скаляра на тензор компоненты тензоров (1.23) могут быть записаны в виде системы уравнений

t₁₁= l(e₁₁ + e₂₂ + e₃₃) +2me₁₁

t₂₂= l(e₁₁ + e₂₂ + e₃₃) +2me₂₂

t₃₃= l(e₁₁ + e₂₂ + e₃₃) +2me₃₃ ( 1.26 )

t₁₂= 2me₁₂

t₂₃= 2me₂₃

t₃₁= 2me₃₁

Согласно закону парности касательных напряжений

t₂₁= t₁₂; t₃₂= t₂₃; t₁₃= t₃₁.

Соотношения (1.26) представляют собой обобщенный закон Гука. Они устанавливают связь между деформациями и напряжениями в случае сложного напряженного состояния тела.

Можно показать, что в важных частных случаях одностороннего сжатия (растяжения) и сдвига они переходят в известные состояния (1.1) – (1.3).

Пусть, например, имеет место одностороннее сжатие тела. При этом напряжения

t₁₁ , t₂₂= t₃₃= t₁₂=t₂₃= t₃₁=0.

и система уравнений (1.26) принимает вид

t₁₁= l(e₁₁ + e₂₂ + e₃₃) +2me₁₁

0 = l(e₁₁ + e₂₂ + e₃₃) +2me₂₂

0 = l(e₁₁ + e₂₂ + e₃₃) +2me₂₂ ( 1.27 )

0 = e₁₁ = e₂₂ = e₃₃

Вычитая из второго уравнения этой системы третье уравнение, нетрудно получить

2m(e₂₂ – e₃₃)= 0

Следовательно, деформации e₂₂ = e₃₃, и из второго уравнения (1.27) можно получить

0= le₁₁ + 2le₂₂ + 2me₂₂

Отсюда с учетом соотношения (1.25)

e₂₂ = e₃₃ = ( 1.28 )

Подстановка значений e₂₂ и e₃₃ в первое уравнение (1.27) с учетом соотношений (1.25) приводит к выражению

t₁₁= ( 1.29 )

Соотношения (1.29), (1.28) есть не что иное, как формулы (1.1) и (1.2), причем знак минус в соотношении (1.28) перед коэффициентом Пуассона n указывает, что при произвольном сжатии тела происходит увеличении его размеров в поперечном направлении и, наоборот, при растяжении в продольном направлении имеет место сужение тела в поперечном направлении.

Пусть имеет место односторонний сдвиг при t₁₂>0. В этом случае

t₁₁= t₂₂= t₃₃= t₂₃= t₃₁= 0

При сдвиге изменение объема тела не происходит. Следовательно

q= e₁₁ + e₂₂ + e₃₃ = 0

С учетом данных соотношений из уравнений (1.27) можно получить

t₁₂= 2me₁₂

e₁₁= e₂₂= e₃₃= e₂₃= e₃₁= 0

Учитывая, что e₁₂ g₁₂, m= G, где g₁₂ – угол сдвига, G – модуль сдвига, первое из этих соотношений принимает вид

t₁₂= Gg₁₂,

что полностью совпадает с формулой (1.3)

§ 1.5. Распространение колебаний в упругой среде.

Распространение упругих возмущений в изотропной среде описывается уравнением Ламе [10]

( 1.30 )

где r – плотность среды (грунта);

W – смещение точек среды;

F – массовая сила (например, для силы тяжести F=g);

l, m – упругие константы Ламе.

В уравнении (1.30) величина div W – это дивергенция, то – есть расхождение векторного поля W в точке (x, y, z). Если обозначить проекции векторного поля W на координатные оси через W_x, W_y, W_z, то можно представить

Div W=

Величина graddiv W ( градиент div W) – это вектор, показывающий направление наиболее быстрого изменения div W

graddiv W ,

где i, j, k – орты координатных осей x, y, z.

Величина D в уравнении (1.30) – это оператор Лапласа

D

При распространении упругих возмущений неограниченной изотропной среде массовой силой F обычно пренебрегают по сравнению с упругими силами и силами инерции. Тогда с учетом пояснений относительно значений graddiv W и DW уравнение (1.30) можно записать в проекции на координатные оси в виде

( 1.31 )

При распространение упругих возмущений на большие расстояния движение среды можно рассматривать как плоское движение. В этом случае смещение W зависит только от одной из декартовых координат, например x, и времени t.

( 1.32 )

Обозначив

; , ( 1.33 )

нетрудно получить

; ; ( 1.34 )

Уравнения (1.34) представляют собой волновые уравнения, где величины a, b являются скоростями распространения возмущений. Видно, что скорости распространения составляющей смещения W_x и составляющих W_y, W_z различны. Следовательно, в рассматриваемом случае движения возмущений в упругой грунтовой среде формируется волновая система, состоящая из двух волн [10]. В одной из них смещение (W_x) совпадает с направления распространения самой волны. Такая волна называется продольной и распространяется со скоростью а= . В другой – смещение ( ) лежит в плоскости, ортогональной к направлению ее распространения. Такая волна называется поперечной и распространяется со скоростью .

§ 1.6. Потенциальная энергия деформаций.

Потенциальная энергия деформаций численно равна работе внутренних усилий (напряжений) на перемещениях, вызванных действием этих усилий. [7]

Рассмотрим, например, работу напряжения s_x при деформации e_x

, ( 1.35 )

где Е – модуль Юнга, Q_* – работа напряжения.

Рассмотрим далее работу напряжений s_x, s_y, s_z, t_xy, t_yz, t_zx, действующих на гранях элементарного (бесконечно малого) объема, например, куба с ребрами dx, dy, dz, при деформациях e_x, e_y, e_z, g_xy, g_yz, g_zx соответственно. По аналогии с выражением (1.35) нетрудно получить [7].

( 1.36 )

Используя зависимости между деформациями и напряжениями (1.26), с учетом соотношений (1.25) можно найти

(1.37)

Если координатные оси x, y, z – главные оси деформации тогда g_xy=g_yz=g_zx=t_xy=t_yz=t_zx= 0; при этом соотношение (1.37) принимает вид

, ( 1.38 )

где s₁, s₂, s₃ – главные напряжения.

Потенциальная энергия напряженного тела может быть определена интегрированием соотношений (1.36) – (1.38) по всему объему тела.

( 1.39 )

При землетрясении очаг землетрясения находится обычно на глубинах от нескольких километров до нескольких сот километров. На таких глубинах напряжения в грунте могут достигать больших значений. Область, занятая очагом, также может иметь значительные размеры. Указанные обстоятельства объясняют выделение большого количества энергии при землетрясении.

§ 1.7. Волновая система при землетрясении.

Высвобождение накапливающейся длительное время в земной коре энергии напряжений сжатия, растяжения, сдвига обычно происходит в некотором объеме, называемом очагом землетрясения. В пределах очага имеет место разрушение земных пород. В геологии используется специальный термин – разлом.[1,12]

Протяженность разлома (а значит и очаговой области) может достигать десятков, в отдельных случаях – сотен километров. Образование разлома часто сопровождается смещением земных пород. Если при этом образование разлома происходит в результате действия растягивающих усилий, то некоторый объем породы может соскользнуть вниз – возникает так называемый нормальный сброс. При сжатии часть породы может быть выдавлена вверх – такой разлом называют обращенным сбросом. Возможно также горизонтальное перемещение некоторого объема породы при наличии сдвигающих усилий; в этом случае говорят о поперечном сбросе. Указанные типы сбросов поясняет рис. 6.

а) б) с)

Рис. 6. Схемы разломов при землетрясении.

а – нормальный сброс, б – обращенный сброс, с – поперечный сброс.

В очаге землетрясения выделяется точка, в которой начинается разрушение земной породы, именуемая гипоцентром. Проекция гипоцентра на земную поверхность называется эпицентром. Возмущения грунтовой среды, порожденные в гипоцентре, распространяются во все стороны в виде упругих продольной (Р) и поперечной (S) сейсмических волн. Взаимодействие этих волн с поверхностью земли возбуждает поверхностную волну (R). Схема распространения волн P, S, R в случае однородного грунтового полупространства показана на рис. 7.[13]

L

Эпицентр Точка наблюдений

Поиск по сайту: