Предельное сравнение функций

Рассмотрим две функции и заданные в некоторой окрестности точки х₀ , за исключением может быть самой точки х₀, причем х₀ конечная или бесконечная ( ). Будем считать, что в точке х₀.

Определение 13. Если

(13)

то говорят, что есть о-малое от при (в окрестности точки х₀) и записывают

при

при , если

при , если

при , т. к. .

Если , то выражение означает, что бесконечно малое при . Например, при при .

Формула (13) означает, что можно записать в виде

(14)

где при .

Введем следующую терминологию.

а) Если и бесконечно малые при , то при выполнении (13) или (14) говорят, что есть бесконечно малая более высокого порядка, чем .

б) Если и бесконечно большие при , то при выполнении (13) говорят, что бесконечно большая низкого порядка, чем .

в) Если - бесконечно малая при и , то называют бесконечно малой порядка α относительно переменной x и записывают .

г). Если и бесконечно малые при и , то говорят, что и бесконечно малые одного порядка и записывают , т. е. есть О-большое от .

Эта терминология необходима для сокращения записи формул и упрощения вычислений.

Определение 14. Функции и называются эквивалентными (асимптотически равными) при (в окрестности точки х₀), если выполняется условие

(15)

и записывают

Например, при ; при .

Имеют место следующие свойства эквивалентных пределов.

Теорема 19. Если при .

□ при . Если и в проколотой окрестности точки х₀, то можно записать . ■

Теорема 20. Для того, чтобы при , необходимо и достаточно, чтобы

(16)

при .

□ Необходимость и достаточность. , где при

при , т. к. .

Теорема 21. Если при , то справедливы равенства:

(17)

(18)

□ Докажем (17):

Теоремы говорят о том, что сомножитель (или делитель) под знаком предела может быть заменен на эквивалентный ему сомножитель (делитель). Слагаемые (т. е. в суммах и разностях) заменять на эквивалентные в общем случае нельзя.

Пример 20. 1) , т. к. .

2) - верно, при , но

- неверно

3.7. Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение функции. В чем состоит однозначность? С помощью какого понятия определяется функция?

2.Что называется постоянной функцией?

3.Сформулируйте условие ограниченности функций.

4.Дайте определение точной верхней (нижней) грани функции.

5.Что означает запись ?

6.Что называется графиком функции? Приведите примеры функции и не функции. Дайте геометрическую интерпретацию.

7.Что, значит, задать функцию? Какие существуют способы задания функции?

8.Сформулируйте определения сложной и обратной функции. Приведите примеры.

9.Перечислите основные элементарные функции.

10.Какая функция называется элементарной? Приведите примеры.

11.Приведите пример не элементарной функции.

12.Сформулируйте определения рациональной, иррациональной и трансцендентной функций. Приведите примеры.

13.Сформулируйте два определения предела функции. Что означает эквивалентность этих определений?

14.Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.

15.При каких условиях из существования односторонних пределов функции следует существование предела функции и наоборот?

16.Существует ли

17.Сформулируйте определение предела функций при .

18.Докажите, что не существует.

19.Докажите первый специальный предел.

20.Докажите, что

21.Сформулируйте определение бесконечно малой функции: а) при б) при . Приведите примеры таких функций .

22. Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функцией?

23. Сформулируйте определение бесконечно большой функции: а) при б) при

24. Что означают записи: Дайте соответствующие определения.

25. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями?

26. Что значит сравнить две бесконечные малые функции?

27. Приведите примеры бесконечно малой функции :

а) одного порядка малости с функцией в точке ;

б) эквивалентной функции в точке ;

в) более высокого порядка малости, чем , при .

28. Что означает символическая запись при ?

29. Докажите, что: а) при ; б) при .

30. Верно ли равенство при , если = ?

31. Докажите, что при .

32. Верно ли равенство при , если ?

33. Докажите, что при .

34. Сравните следующие бесконечно большие функции при :

а) и ;

б) и ;

в) и .

35. Что означают записи: , , , , и ?

36. В каких случаях говорят о наличии неопределенности вида или ?

37.Сформулируйте определение непрерывности функции в точке .

38.В чем различие между понятиями непрерывности функции и пределом функции точке .

39.Почему из непрерывности функции слева и справа в точке следует непрерывность функции в этой точке? На основе какой теоремы?

40.Сформулируйте теорему об арифметических действиях над непрерывными функциями.

41.Какие точки называются точками разрыва функции?

42.Дайте определение точек разрыва первого и второго рода.

43.Укажите, в какой точке и какого рода разрыв имеет функция .

44.Дайте определение сложной функции.

45.Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции.

46.Докажите непрерывность функции на всей числовой прямой.

47.Докажите, что функция непрерывна в любой точке .

48.Почему можно утверждать, что функция непрерывна на всей числовой прямой?

49. Сформулируйте теорему об сохранении знака непрерывной функции.

50. Можно ли утверждать, что если функция непрерывна в точке и , то функция : а) имеет определенный знак в некоторой окрестности точки ; 6) не имеет определенного знака ни в какой окрестности точки ? Приведите соответствующие примеры.

51. Сформулируйте теорему Больцано-Коши.

52. Можно ли утверждать, что если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения одного знака, то на нет такой точки, в которой функция обращается в нуль? Приведите пример.

53. Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса.

54. Может ли непрерывная на интервале функция быть ограниченной на этом интервале?

55. Может ли неограниченная на отрезке или интервале функция быть непрерывной на этих промежутках?

56. Может ли ограниченная на отрезке функция принимать значения своих точных граней?

57. Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса.

58. Может ли непрерывная на интервале функция достичь на этом интервале своих точных граней?

59. Дайте определение понятия равномерной непрерывности функции.

60. В чем состоит отличие понятия равномерной непрерывности от понятия непрерывности функции?

61. Сформулируйте теорему Кантора.

62. Может ли непрерывная на интервале функция быть равномерно непрерывной на этом интервале и, наоборот, равномерно непрерывная на интервале функция быть непрерывной?

63. Является ли функция равномерно непрерывной на интервале ?

64. Приведите пример немонотонной функции.

65. Дайте определение обратной функции.

66. Сформулируйте теорему о непрерывности обратной функции.

67. Найдите функцию, обратную функции , заданной на отрезке . Установите область определения, множество значений обратной функции и нарисуйте ее график.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти .

Непосредственно теорему о пределе пределе частного применить нельзя, так как предел знаменателя при равен нулю. Здесь и предел числителя при также равен нулю. Следовательно, имеем неопределенность вида . Необходимо, как говорят, раскрыть эту неопределенность. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби. Это можно сделать, так как в определении предела функции при значение функции в точке не выходит. Получаем

.

Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределенность раскрыта. Применяя теорему об арифметических операциях над пределами, окончательно находим

.

При вычислении пределов отношения двух многочленов при , и для раскрытия неопределенности вида числитель и знаменатель дроби надо делить на х в старшей степени; величина дроби от этого не изменится. При этом, если в числителе и знаменателе многочлены одной степени, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если разной степени, то предел равен 0 или .

Пример 2. Найти .

Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, а затем применив теорему об арифметических операциях над пределами, получим

.

Пример 3. Найти .

Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, получим

.

Пример 4. Найти

Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, получим

,

так как при функция имеет предел, равный 1, функция ограниченная (докажите это самостоятельно), функция бесконечно малая (также докажите самостоятельно) и (произведение ограниченной на бесконечно малую), т. е. данная дробь, как обратная, есть бесконечно большая функция при .

Пример 5. Найти .

Так как функция непрерывна в точке , т.е. предел функции и ее значение в этой точке равны, то, переходя к пределу, получаем

.

Пример 6. Найти .

Имеем неопределенность вида . Функция не определена в точке , т.е. не является непрерывной в этой точке. Поэтому сразу переходим к пределу, как в предыдущем примере, нельзя. Для нахождения предела надо функцию тождественно преобразовать так, чтобы она при совпала с некоторой функцией , непрерывной в точке , т.е. найти такую непрерывную функцию , чтобы при или . Для этого умножим числитель дроби на сумму :

.

Таким образом, при . Но функция непрерывна в точке , поэтому

.

Пример 7.Найти .

Имеем неопределенность вида . Функция не определена в точке . Для нахождения предела преобразуем дробь:

.

При имеем .

Но функция непрерывна в точке . Поэтому, переходя к пределу, получаем

.

При вычислении пределов функции при , и , содержащих радикалы, надо рассматривать арифметическое значение корня при и .

Пример 8.Найти: 1) ; 2) ; 3) .

Во всех случаях имеем неопределенность вида .

1) При имеем , поэтому

.

2) При имеем , следовательно,

.

3) не существует, так как пределы при и при разные.

Пример 9. Найти .

Имеем неопределенность вида . При , , поэтому

.

Будем говорить, что сумма двух бесконечно больших функций разных знаков есть неопределенность вида .

В этом случае о пределе суммы ничего определенного сказать нельзя, так как этот предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать.

Пример 10. Найти 1) ; 2) .

1. Имеем неопределенность вида . Для нахождения предела умножим и разделим на сумму , в результате получим

.

Теперь имеем неопределенность вида . Для раскрытия данной неопределенности разделим дробь на , а затем перейдем к пределу. Получаем

;

2. , так как сумма двух положительных бесконечно больших функций есть бесконечно большая функция (докажите самостоятельно).

Из 1) и 2), в частности, следует, что не существует.

Будем говорить, что произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую есть неопределенность вида .

Пример 11. Найти .

Имеем неопределенность вида . Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив . Так как , то при новая переменная .Кроме того, если , то . Следовательно,

.

Получена неопределенность вида . Здесь удобно воспользоваться первым специальным пределом. Для этого преобразуем дробь:

.

Окончательно имеем

.

Поиск по сайту: