Решение типового примера задания 10 РГР

Исследовать функцию и построить ее график.

План исследования: 1) найти область существования функции; 2) найти точки разрыва и ее односторонние пределы в точках разрыва; 3) выяснить, явля­ется ли данная функция четной или нечетной; 4) найти точки экстремума и опре­делить интервалы возрастания и убывания; 5) найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости; 6) найти асимптоты графика; 7) построить график функции, дополнительно определив точки пересечения с осями координат.

Решение. 1) Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме , при котором обращается в нуль знаменатель, то есть .

2) Исследуем функцию на непрерывность. Найдем односторонние пределы в точках .

; . ; .

В точках функция имеет разрыв 2-го рода.

3) Установим четность и нечетность функции.

; .

Так как , функция является четной, то есть она симметрична относительно оси .

4) Для нахождения точек экстремума вычислим первую производную:

.

Дробь равна нулю, когда равен нулю числитель. ; – точка возможного экстремума. Как видно, при первая производная отрицательна, а при – положительна. В точке первая произ-водная меняет свой знак с на . Значит, функция имеет минимум:

.

5) Выясним, есть ли точки перегиба и определим интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную.

.

Приравняем нулю вторую производную: . .

График исследуемой функции не имеет точек перегиба.

Разобьем числовую ось на три интервала: , , .

Установим характер кривизны в этих интервалах:

6) Определим асимптоты графика. Прямые являются вертикальными асимптотами. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии горизонтальной и наклонной асимптоты.

.

.

Прямая – горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.

7) Точек пересечения с осями координат нет. Построим график функции.

Задания для расчетно-графической работы

Задание 1

Найти указанные пределы

1.1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.2. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.3. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.4. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.5. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.6. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.7. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.8. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.9. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.10. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.11. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.12. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.13. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.14. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.15. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.16. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.17. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.18. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.19. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.20. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.21. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.22. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.23. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.24. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.25. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.26. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.27. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.28. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.29. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.30. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Задание 2

Дана функция.Найтиточки разрыва, односторонние пределы в точках разрыва и указать тип разрыва. В задании б) определить скачек функции в точке разрыва и построить график.

2.1. а) ; б)

2.2. а) ; б)

2.3. а) ; б)

2.4. а) ; б)

2.5. а) ; б)

2.6. а) ; б)

2.7. а) ; б)

2.8. а) ; б)

2.9. а) ; б)

2.10. а) ; б)

2.11. а) ; б)

2.12. а) ; б)

2.13. а) ; б)

2.14. а) ; б)

2.15. а) ; б)

2.16. а) ; б)

2.17. а) ; б)

2.18. а) ; б)

2.19. а) ; б)

2.20. а) ; б)

2.21. а) ; б)

2.22. а) ; б)

2.23. а) ; б)

2.24. а) ; б)

2.25. а) ; б)

2.26. а) ; б)

2.27. а) ; б)

2.28. а) ; б)

2.29. а) ; б)

2.30. а) ; б)

Задание 3

Найти производные пользуясь формулами и правилами дифференцирования.

3.1. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.2. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.3. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.4. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.5. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.6. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.7. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.8. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.9. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.10. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.11. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.12. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.13. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.14. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.15. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.16. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.17. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.18. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.19. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.20. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.21. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.22. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.23. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.24. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.25. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.26. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.27. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.28. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.29. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3.30. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

Задание 4

Найти производные пользуясь формулами и правилами диффе-ренцирования. В пункте е) найти также производную второго порядка .

4.1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.2. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.3. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.4. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.5. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.6. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.7. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.8. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.9. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.10. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.11. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.12. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.13. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.14. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.15. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.16. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.17. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.18. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.19. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.20. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.21. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.22. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.23. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.24. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.25. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.26. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.27. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4.28. а) ; б) ; в) ;

г)

Поиск по сайту: