Классификация функций. Непрерывность функции в точке.

Точки разрыва

Основными элементарными функциями называются такие:

1. Степенная функция , . Графики этих функций приведены на рис. 1.1 - 1.7.

2. Показательная функция , (рис. 1.8).

3. Логарифмическая функция (рис. 1.9).

4. Тригонометрические функции , , , (рис. 1.10 - 1.13).

Графики основных элементарных функций необходимо помнить.

Приведем графики основных элементарных функций.

1. Степенная функция:

.

.

 

, .

Рис. 1.6

Рис.1.5

 

 

2. Показательная функция .

 

3. Логарифмическая функция .

 

 

4. Тригонометрические функции .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция называется непрерывной в точке ,если граница функции и ее значения в этой точке равны, то есть

. (1.3)

Часто встречаются понятия односторонней непрерывности. Функция называется непрерывной в точке слева, если она определена на полуинтервале , где и ; если функция определена на полуинтервале и , то функция называется непрерывной в точке справа. Используя эти понятия, можно сказать, что функция будет непрерывной в точке тогда и только тогда, когда она определена в некоторой окрестности точки и

. (1.4)

Если эти условия не выполняются, то функция называется разрывной в точке , а сама точка называется точкой разрыва функции.

Различают два вида разрывов. Если для функции существуют конечные границы

, ,

причем не все числа , , равны между собой, то разрыв в точке называют разрывом первого рода, точку точкой разрыва первого рода. В частности, если

,

то разрыв в точке называют условным, а точку точкой условного разрыва. Величину называют скачком функции.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, или равен бесконечности, то разрыв в точке называют разрывом второго рода, а саму точку точкой разрыва второго рода.

Решение типовых примеров задания 2 РГР

1. Дана функция .Найтиточки разрыва, односторонние пределы в точках разрыва и указать тип разрыва.

Решение. Функция не определена в точке , поэтому в этой точке имеет разрыв. Чтобы определить характер разрыва, найдем границы слева и справа:

; .

Поэтому, точка есть точка разрыва второго рода.

2. Дана функция .Найтиточки разрыва, односторонние пределы в точках разрыва и указать тип разрыва. Определить скачек функции в точке разрыва и построить график.

Функция имеет в точке разрыв первого рода:

; .

Скачек функции в точке равен .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Поиск по сайту: