Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Решение типовых примеров задания 1 РГР



ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей

. Число называется пределом функции при , если для любого бесконечно малого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначают предел .

. Теоремы о пределах.

1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине

.

2. Пусть функции и имеют конечные пределы в точке . Тогда справедливы формулы

;

;

, если .

Следствия. Если существует , то выполняются равенства:

1. , ;

2. .

. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к длине этой дуги, выраженной в радианах, равен единице, т.е.

. (1.1)

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом (числом ) называется предел числовой последовательности

(1.2)

Число является иррациональным числом, приближенное значение которого равно .

Другое выражение числа . При , полагая ,

.

. Раскрытие неопределенностей.

1. Неопределенность вида раскрывается, как правило, делением числителя и знаменателя на множитель, стремящийся к нулю, или с помощью первого замечательного предела.

2. Неопределенность вида раскрывается, как правило, делением на в старшей степени.

3. Неопределенность вида раскрывается путем преобразования функции к неопределенностям или .

4. Неопределенность вида раскрывается посредством преобразо-вания ко второму замечательному пределу.

5. Бесконечно малые функции и называются эквивалентными, если . При раскрытии неопределенностей можно пользоваться следующим правилом: предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если их под знаком предела заменить на эквивалентные. Обозначая эквивалентность бесконечно малых ~ при , приведем наиболее известные

~ ; ~ ; ~ ;

~ ; ~ ; ~ ;

~ ; ~ ; ~ .

Решение типовых примеров задания 1 РГР

1. Найти предел .

Решение.Неопределенность вида. Для раскрытия неопределен-ности представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известными формулами

;

,

где , корни приведенного квадратного уравнения,

.

Для числителя ;

;

; .

.

Для знаменателя ; .

; ; .

.

Тогда, разделив на множитель , стремящийся к нулю, окончательно получим

.

2.Найти предел .

Решение.Неопределенность вида. Поскольку при много-члены в числителе и знаменателе обращаются в ноль, то их можно разло-жить на множители, причем один из сомножителей будет . Тогда, деля многочлены на , получим

 

  –

.

3. Найти предел .

Решение.Неопределенность видазадана иррациональным выражением. Чтобы избавиться от него, умножим и разделим дробь на выражение, сопряженное числителю

.

4. Найти предел .

Решение. Неопределенностьвида . Разделим числитель и знаменатель на

.

5. Найти предел .

Решение.Неопределенностьвида . Для раскрытия указанной неопределенности воспользуемся первым замечательным пределом, , для чего преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, выразив в нем конструкцию первого замечательного предела

.

6.Найти предел .

Решение.Неопределенностьвида . Для приведения выражения к виду второго замечательного предела, в основании степени прибавим и вычтем единицу

.

Так как дробь в круглых скобках положительна, воспользуемся вторым замечательным пределом в виде для чего введем новую переменную

; ; ; ;

.

При , и предел имеет вид

.

7.Найти предел .

Решение.Неопределенностьвида . При раскрытии неопределенности можно пользоваться следующим правилом: предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если их под знаком предела заменить на эквивалентные.

Известно, что ~ ; ~ .

В нашем случае ~ ; ~ .

Тогда получим

.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.