. Число называется пределом функции при , если для любого бесконечно малого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Обозначают предел .
. Теоремы о пределах.
1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине
.
2. Пусть функции и имеют конечные пределы в точке . Тогда справедливы формулы
;
;
, если .
Следствия. Если существует , то выполняются равенства:
1. , ;
2. .
. Замечательные пределы.
Первый замечательный предел
Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к длине этой дуги, выраженной в радианах, равен единице, т.е.
. (1.1)
Второй замечательный предел
Вторым замечательным пределом (числом ) называется предел числовой последовательности
(1.2)
Число является иррациональным числом, приближенное значение которого равно .
Другое выражение числа . При , полагая ,
.
. Раскрытие неопределенностей.
1. Неопределенность вида раскрывается, как правило, делением числителя и знаменателя на множитель, стремящийся к нулю, или с помощью первого замечательного предела.
2. Неопределенность вида раскрывается, как правило, делением на в старшей степени.
3. Неопределенность вида раскрывается путем преобразования функции к неопределенностям или .
4. Неопределенность вида раскрывается посредством преобразо-вания ко второму замечательному пределу.
5. Бесконечно малые функции и называются эквивалентными, если . При раскрытии неопределенностей можно пользоваться следующим правилом: предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если их под знаком предела заменить на эквивалентные. Обозначая эквивалентность бесконечно малых ~ при , приведем наиболее известные
~ ; ~ ; ~ ;
~ ; ~ ; ~ ;
~ ; ~ ; ~ .
Решение типовых примеров задания 1 РГР
1. Найти предел .
Решение.Неопределенность вида. Для раскрытия неопределен-ности представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известными формулами
;
,
где , корни приведенного квадратного уравнения,
.
Для числителя ;
;
; .
.
Для знаменателя ; .
; ; .
.
Тогда, разделив на множитель , стремящийся к нулю, окончательно получим
.
2.Найти предел .
Решение.Неопределенность вида. Поскольку при много-члены в числителе и знаменателе обращаются в ноль, то их можно разло-жить на множители, причем один из сомножителей будет . Тогда, деля многочлены на , получим
–
–
–
–
–
–
.
3. Найти предел .
Решение.Неопределенность видазадана иррациональным выражением. Чтобы избавиться от него, умножим и разделим дробь на выражение, сопряженное числителю
.
4. Найти предел .
Решение. Неопределенностьвида . Разделим числитель и знаменатель на
.
5. Найти предел .
Решение.Неопределенностьвида . Для раскрытия указанной неопределенности воспользуемся первым замечательным пределом, , для чего преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, выразив в нем конструкцию первого замечательного предела
.
6.Найти предел .
Решение.Неопределенностьвида . Для приведения выражения к виду второго замечательного предела, в основании степени прибавим и вычтем единицу
.
Так как дробь в круглых скобках положительна, воспользуемся вторым замечательным пределом в виде для чего введем новую переменную
; ; ; ;
.
При , и предел имеет вид
.
7.Найти предел .
Решение.Неопределенностьвида . При раскрытии неопределенности можно пользоваться следующим правилом: предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если их под знаком предела заменить на эквивалентные.