Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.
Термін «математичне сподівання» випадкової величини Х є синонімом терміна «середнє значення» випадкової величини X.
Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі Ω, називається величина
. (75)
Якщо Ω — обмежена множина, то
. (76)
Якщо простір Ω є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина
. (77)
Якщо Ω = (– ¥; ¥), то
. (78)
Якщо Ω = [a; b], то
(79)
Властивості математичного сподівання
1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:
М (С) = С. (80)
Справді, сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з імовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а тому М (С) = С × 1 = С.
2. М (СХ) = СМ (Х). (81)
Для дискретної випадкової величини згідно із (75) маємо
.
Для неперервної:
3. Якщо А і В є сталими величинами, то
. (82)
Для дискретної випадкової величини:
.
Для неперервної випадкової величини:
Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:
хі
– 6
– 4
рі
0,1
0,1
0,2
0,3
0,1
0,2
Обчислити М (Х).
Розв’язання. Скориставшись (76), дістанемо
Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей
обчислити М (Х).
Розв’язання. Згідно із (79) маємо:
Приклад 3. Дано щільність імовірностей
Обчислити М (Х).
Розв’язання.
Приклад 4. За заданою функцією розподілу ймовірностей
Обчислити М (Х).
Розв’язання. Для обчислення М (Х) необхідно знайти щільність імовірностей
Тоді:
Якщо випадкова величина Х Î [а; b], то М (Х) Î [а; b], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.
Мода та медіана випадкової величини
Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.
Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:
f (Mо) = max.
Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.
Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:
(83)
Отже, медіану визначають із рівняння (83).
Приклад 5. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати. Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.
Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х — числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок часу. Знайти Мо.
Розв’язання.
Можливі значення випадкової величини:
Х = 0, 1, 2, 3.
Імовірності цих можливих значень такі:
p1 = (0,2)3 = 0,008;
p2 = 3р q2 = 3 × 0,8 × 0,04 = 0,096;
p3 = 3p2q = 3 × 0,64 × 0,2 = 0,384;
p4 = p3 = (0,8)3 = 0,512.
Запишемо закон таблицею:
хі
рі
0,008
0,096
0,384
0,512
Із таблиці визначаємо Мo = 3.
Отже, дістаємо одномодальний розподіл.
Приклад 6. За заданою щільністю ймовірностей
Знайти а і F(x), Mo.
Розв’язання.
За умовою нормування маємо:
Щільність імовірностей зі знайденим а матиме вигляд
Графік f(x) зображено на рис. 53.
Рис. 53
Згідно з рис. 53 маємо f (1) = max. Отже, Мo = 1.
Визначаємо Мe:
Отже,
Для визначення Ме застосовуємо рівняння (83):
Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей:
(84)
або при Х Î [а; b]:
. (85)
Отже, Ме— можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х = Ме, поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f (x), на дві рівні частини.
4. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню М (Х) може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.
Приклад 7. Закони розподілу випадкових величин Х і Y задані таблицями:
хі
– 0,5
– 0,1
0,1
0,5
рі
0,4
0,1
0,1
0,4
уj
– 100
– 80
– 10
pj
0,1
0,2
0,2
0,2
0,1
0,2
Обчислити М (Х) і М (Y).
Розв’язання.
Отже, два закони розподілу мають однакові математичні сподівання, хоча можливі значення для випадкових величин Х і Y істотно різні. Із наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань (М (X) = М (Y) = 0) випадкові величини Х і Y мають тенденцію до коливань відносно М (X) та М (Y), причому Y має більший розмах розсіювання відносно М (Y), ніж випадкова величина Х відносно М (Х). Тому математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.
Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання (Х – М (Х))
Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини Х завжди дорівнює нулю. Справді,
.
Отже, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини.
Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини
. (86)
Для дискретної випадкової величини Х дисперсія
; (87)
для неперервної
. (88)
Якщо Х Î [а; b],
то . (89)
Властивості дисперсії
1. Якщо С — стала величина, то
. (90)
Справді
.
2. . (91)
Маємо:
3. Якщо А і В — сталі величини, то
. (92)
Адже
Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:
(93)
!
Доведення. Згідно з (86) дістаємо:
Для дискретної випадкової величини Х
; (94)
для неперервної
. (95)
Якщо Х Î [а; b], то
(96)
Слід пам’ятати, що дисперсія не може бути від’ємною величиною .
Отже, дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання. Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.
Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії:
. (97)
Приклад 8. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:
хі
– 4
– 2
рі
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
Обчислити D (X), s (X).
Розв’язання. Згідно з (94) маємо:
Приклад 9. Маємо чотири електролампочки, кожна з яких має дефект з імовірністю q = 0,1 (p = 1 – q = 0,9 — імовірність того, що в лампочці дефект відсутній). Послідовно беруть по одній лампочці, вгвинчують у патрон і вмикають електричний струм. Під час вмикання струму лампочка з дефектом перегорить, і її замінять на іншу. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини Х — число лампочок, які будуть випробувані. Обчислити s (X).
Розв’язання. Дискретна випадкова величина Х — число лампочок, які будуть випробувані — набуває таких можливих значень:
Обчислимо відповідні ймовірності:
Адже четверта лампочка буде випробувана, коли третя перегорить, а четверта — ні, або коли й четверта перегорить.
У табличній формі закон розподілу Х матиме такий вигляд:
хі
рі
0,9
0,09
0,009
0,001
Далі виконуємо такі обчислення:
Приклад 10. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х задано функцією
Обчислити D (X); s (X).
Розв’язання. За заданою функцією розподілу ймовірностей подамо закон розподілу таблицею
хі
– 6
– 4
рі
0,1
0,2
0,1
0,2
0,2
0,2
Приклад 11. Задано щільність імовірностей:
Обчислити D (X); s (X). Знайти Мо; Ме.
Розв’язання.
Графік f (x) зображено на рис. 54.
Рис. 54
Оскільки є максимальним значенням, то
Знаходимо F(x) =
Отже,
Приклад 12. Задано щільність імовірностей (рис 55).
Рис. 55
Обчислити D (X); s (X); Mе. Знайти Мо.
Розв’язання. За умовою нормування знайти ординату точки В:
.
На проміжку [–2; 0] .
На [0; 4] .
Отже, щільність імовірностей
Знаходимо функцію розподілу ймовірностей:
На проміжку [–2; 0]
На [–2; 4]
=
Отже, функцію розподілу ймовірностей можна подати у вигляді
Графік F(x) зображено на рис. 56.
Рис. 56
Далі обчислюємо D (X):
Для визначення Ме необхідно знайти проміжок, в якому вона міститься. Оскільки то медіана належить проміжку [0; 4].