Свойства эргодичности стационарных СП

Классификация СП

Случайные процессы

Дискретные СП Непрерывные СП

а) непрерывные по времени а) непрерывные по времени

б) дискретные по времени б) дискретные по времени

Характеристики СП

Математическое ожидание (МО) СП

Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция времени m_x(t), которая при каждом значении аргумента t=t¢ равна математическому ожиданию СВ X(t¢), соответствующей этому сечению процесса X(t).

(если X(t) – непрерывный СП)

f_x( ,t) – одномерная плотность распределения X(t).

Корреляционная функция СП

Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция R_x(t,t¢) двух переменных t и t¢, значение которой при всяких t и t¢ равно ковариации случайных величин

и , соответствующих этим сечениям процесса X(t).

, где X(t) – непрерывный СП;

- двумерная плотность распределения случайного процесса X(t).

Автокорреляционная функция – сечения относятся к одному СП . Автокорреляционная функция характеризует степень линейной связи СВ, соответствующим двум сечениям СП. Если X_t и X_t¢ независимы, то

Для автокорреляционной функции справедливо R_X(t,t¢) = R_X(t¢,t).

Взаимно корреляционная функция – берутся сечения двух разных СП: X(t) и Y(t).

Дисперсия СП

Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция времени D_x(t), которая при каждом значении аргумента t равна дисперсии случайной величины X_t , соответствующей этому сечению процесса X(t):

Преобразования СП

Центрированный СП:

Это процесс получаемый путем вычитания из СП его МО :

= X(t) – m_X(t) M( ) = 0

Нормированный СП:

M( )=0

D( )=1

Добавление неслучайной функции

Дано: X(t), m_X(t), R_X(t,t¢)

, - неслучайная (детерминированная) функция времени

Определить: m_Y(t)-? ,R_Y(t,t¢)-?

= m_X(t)+

R_Y(t,t¢)=

Умножение на неслучайную величину

Дано: X(t), m_X(t), R_X(t,t¢)

Определить: m_Y(t)-? ,R_Y(t,t¢)-?

Доказательство:

В частности, если то и

Сложение СП

Дано: X₁(t), m₁(t), R_X1(t,t¢),X₂(t), m_X2(t), R_X2(t,t¢)

Определить: m_Y(t)-? ,R_Y(t,t¢)-?

Доказательство:

Если и - независимые СП, то R_X1X2(t,t¢) = 0, R_X2X1(t,t¢) = 0 и .

Дифференцирование СП

Дано: X(t), m_X(t), R_X(t,t¢)

Y(t)=

Определить: m_Y(t)=? R_Y(t,t¢)=?

m_Y(t)=

R_Y(t,t¢)=

Интегрирование СП

Дано: X(t), m_X(t), R_X(t,t¢)

Y(t)=

Определить: m_Y(t)=? R_Y(t,t¢)=?

m_Y(t)=

R_Y(t,t¢)=

Стационарные СП

Процесс X(t) называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание не зависит от времени, а корреляционная функция зависит только

от разности аргументов

Свойства R_X(t):

1) R_X(t)=R_X(-t) - симметрия относительно оси ординат R_X(t)

(четность)

2) max êR_X(t)÷ =R_X(0)

t

0 t

Свойства эргодичности стационарных СП

Усреднение по ансамблю реализаций:x(t)x(t)

Усреднение по одной реализации:

t t t+ t T t

Эргодичность по МО

X(t) - обладает свойством эргодичности по М.О. , если с вероятностью равной 1 имеем

m_X^(T)=m_X

Поиск по сайту: