Распределение Вейбулла

Кривые этого распределения приведены нарис 1.8. Плотность распределения Вейбулла равна:

(32)

Распределение Вейбулла имеет два параметра: к и ν. Параметр к определяет масштаб; при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается.

При ν =1 распределение Вейбулла превращается в показательное распределение. Обычно значение ν выбираются в пределах от 1 до 2.

Для распределения Вейбулла функция надежностиp(t) иинтенсивность отказов λ(t) выражается формулами:

(33)

(34)

Рис. 8. Графики распределения Вейбулла при k = 1: а – кривые распределения; б – интенсивности отказов; в – функции надежности.

Математическое ожидание наработки отказа

где – гамма-функция.

Распределение Вейбулла иногда используется для описания надежности шариковых подшипников и некоторых типов электронных ламп (ν=1,4 – 1,7).

Треугольное распределение

Треугольное характеризует случайные величины, имеющие ограниченную область возможных значений (t_н, t_k). Положение и форму треугольного распределения характеризуют три параметра: t_н, t_k – границы области возможных значений; t_м – мода (рис. 9).

Рис. 9. Треугольное распределение случайной величины: a – графики плотности распределения f(t) и интенсивности отказов; λ(t); б – график функции надежности p(t)

Если обозначить значение плотности распределения в точке моды f(t_м)=h, тo

Плотность распределения

Функция надежности

Интенсивность отказов

В некоторых задачах удобно использовать в качестве параметров распределения также скорости изменения плотности распределения

Медиана t_ме треугольного распределения может быть найдена из уравнения

в результате решения которого получим

Математическое ожидание

(35)

Применив подстановку можно перейти к нормированному треугольному распределению. При этом t_н соответствует y_н = 0, t_kсоответствует y_k = 1.

Обозначим:

После преобразований получим:

Функция надежности может быть выражена через вспомогательную функцию Ф_Δ(y).следующим образом:

(36)

где Ф_Δ(y) – нормированная функция распределения;

(37)

На рис. 10 приведены графики Ф_Δ (y) при различных значения параметра y_м. Значения функции Ф_Δ(y) надежности, соответствующие определенным t_н, t_м, t_к, можно также вычислить но табл. 1.

Рис.1.10. Значения нормированной функции распределения Ф_Δ (y). Точками на кривых отмечены значения Ф_Δ(y)= y_м

Таблица 1

Поиск по сайту: