Вопросы к экзамену по математике. ФТК. II семестр.
Группы 1082; 1084; 1088. (2014 год)
( на оценку 4 или 5 )
Алгебра.
1. Группы, кольца, поля. Изоморфизм групп.
2. Определение линейного пространства. Теорема о линейно зависимых и независимых системах векторов.
3. Теорема о линейной зависимости системы из k векторов, каждый из которых является линейной комбинацией некоторой системы из m векторов (k>m).
4. Базис линейного пространства. Теорема об инвариантности числа элементов базиса. Теорема о количестве элементов линейно независимой системы (Т. 1.3, Т.1.4).
5. Координаты вектора. Теоремы о координатах вектора (Т.1.5 и Т.1.7).
6. Определение и свойства скалярного произведения. Угол между векторами.
7. Пространство правильных рациональных дробей с фиксированным знаменателем. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
8. Пространства и .
9. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.
10. Матрицы: определение; сложение и умножение на число. Размерность и базис пространства матриц одного размера.
11. Перемножение матриц. Свойства.
12. Обратные и транспонированные матрицы.
13. Перемножение матриц, разбитых на блоки.
14. Матрицы элементарных преобразований.
15. Ортогональные матрицы.
16. Определитель матрицы: определение, разложение по первому столбцу. Определитель верхней и нижней треугольных матриц. Связь определителей и .
17. Перестановки.
18. Теорема о выражении определителя через сумму слагаемых, в каждом из которых содержится произведение элементов матрицы ( по одному из каждой строки и каждого столбца), снабженных знаком по некоторому правилу .
19. Свойства определителей: перестановка строк (столбцов), разложение по произвольному столбцу (строке), сумма произведений элементов i-ой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j-ой строки.
20. Линейность определителя по элементам строки или столбца. Определитель матрицы, строки (столбцы) которой являются линейно зависимыми. Определитель матрицы, к некоторой строке которой прибавлена другая, умноженная на число. Определитель Вандермонда.
21. Определитель блочной матрицы. Определитель произведения матриц.
22. Обратная матрица. Следствия о треугольных матрицах.
23. LU – разложение матрицы.
24. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы несовместны или имеют единственное решение.
25. .Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы имеют бесконечно много решений. Структура общего решения систем.
26. Однородные системы линейных уравнений.
27. Теорема Крамера.
28. Горизонтальный и вертикальный ранги матрицы. Ранг по минорам. Их совпадение для трапециевидной матрицы.
29. Неизменность ранга матрицы при умножении ее на невырожденную. Теорема о равенстве рангов для произвольной матрицы.
30. Теорема Кронекера-Капелли.
31. Собственные числа и векторы матрицы. Совпадение характеристических многочленов у подобных матриц. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам.
32. Связь между линейной зависимостью системы векторов и соответствующей системы координатных столбцов. Связь координатных столбцов одного вектора в разных базисах.
33. Сумма и пересечение двух подпространств. Теорема о существовании для подпространства : .
34. Теорема о размерности прямой суммы, непрямой суммы двух подпространств.
35. Линейное отображение линейных пространств. Матрица отображения в некоторых базисах. Ее использование для вычисления образа вектора . Связь матриц отображения в разных базисах.
36. Ядро и образ отображения. Ранг отображения, его связь с рангом матрицы отображения. Дефект отображения.
37. Изоморфизм линейных пространств. Необходимое и достаточное условие существования изоморфизма.
38. Собственные числа и собственные векторы оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов.
39. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам оператора. Собственные подпространства, их размерность. Следствия.
40. Евклидовы и унитарные пространства. Матрица Грама системы векторов. Выражение скалярного произведения векторов через матрицу Грама. Связь матриц Грама разных базисов.
41. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема о знаке определителя матрицы Грама линейно независимой системы.
42. Ортогональное дополнение подпространства. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения.
43. Теорема о собственных числах и собственных векторах вещественной симметричной матрицы.
45. Определение билинейной и квадратичной форм. Матрица билинейной формы в некотором базисе, ее использование для вычисления билинейной формы. Связь матриц одной билинейной формы в разных базисах.
46. Теорема о существовании ортогонального преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Практический метод приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования базиса (метод собственных векторов). Построение кривой
.
47. Теорема о необходимом и достаточном условии положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.
48. Теорема о существовании треугольного преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Критерий Сильвестра.