Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Рекомендації до розв’язання типових прикладів розділу 7



7.1.

Розв’язання.

Перепишемо задану функцію у вигляді y = x3/2×(3lnx-2).

Тоді

7.2.

Розв’язання.

 

 

7.3. y=(sinx+4)3; y¢-?

 

Розв’язання. Маємо ступеневу функцію з показником 3 і основою sinx+4. Для знаходження похідної треба скористуватися спочатку правилом знаходження похідної складної степеневої функції,потім суми двох функцій sinx+4- синуса і константи:

y’=3(sinx+4)2(sinx+4)’=3(sinx+4)2×cosx .

 

y= ; y¢-?

 

Розв’язання.

Маємо показову функцію з основою e і показником arctg3x ; функція arctg3x- степенева з показником 3 і основою arctgx.

7.5. y=tg6x ; y¢-?

 

Розв’язання.

y¢=6tg5x×(tgx)’=6tg5x×sec2x .

 

7.6. y=cos2x; y¢-?

 

Розв’язання.

y¢=2cosx(cosx)¢=-2cosx×sinx=-sin2x .

 

7.7. y=sin(2x+3); y¢-?

 

Розв’язання.

y¢=cos(2x+3)×(2x+3)’=2cos(2x+3).

 

7.8. y=tg lnx ; y’-?

 

Розв’язання.

y’=sec2(lnx) ×(lnx)’= × sec2lnx.

7.9. ; y’-?

Розв’язання.

 

7.10. y=ln(x2+5) ; y’-?

 

Розв’язання.

7.11. ; y’-?

 

Розв’язання.

 

7.12. ; y’-?

 

Розв’язання.

 

7.13. Знайти похідну функції .

 

Розв’язання. Прологарифмуємо обидві частини рівняння:

Продиференціюємо обидві частини одержаного співвідношення по х, оскільки y=y(x),то

звідси

 

7.14. Знайти y’x з рівняння

Розв’язання. Рівняння визначає у як неявну функцію від х. Продиференціюємо обидві частини по х:

Звідси

Після перетворення правої частини маємо

 

За наведеними вище правилами знаходять і похідні вищих порядків, при цьому слід пам”ятати, що похідна n-го порядку –це похідна від похідної (n-1)-го порядку, тобто

y(n) =(y(n-1))’,n=2,3,…

 

7.15. Знайти y'', якщо y=cosx2.

Розв’язання.

y’=-2xsinx2;

y”=-2(sinx2+2x2cosx2).

 

7.16. Скласти рівняння дотичної до кривої y=arcsinx в точці її перетину з віссю OX.

 

Розв’язання.

Знайдемо координати точки перетину кривої з віссю ОХ:

y=arcsinx=0, x0=0.

Обчислимо значення y’(x) при одержаному значенні змінної:

Підставимо у рівняння дотичної y-y0=y’(x0)(x-x0)одержані значення

Рівняння дотичної буде мати вигляд y=x.

 

Якщо функція диференційовна в точці х, тобто має в цій точці скінченну похідну y’,то де a®0 при Dх®0. Звідси Dy=y’Dx+ a Dx.

Головна частина приросту функції Dy, лінійна відносно Dx, називається диференціаломі позначається dy : dy=y'Dx, або dy=y'dx. Справедлива формула: Dy » dy або

 

f(x+Dx)» f(x)+f'(x)Dx,

 

яка використовується в наближених обчисленнях.

 

7.17. Знайти dy, якщо y=x2tg2x.

 

Розв’язання.

.

7.18. Знайти диференціал при x=9 функції і Dx=-0,06.

 

Розв’язання.

Знайдемо похідну функції y'(x)

Обчислимо значення y’(x) при x=9

Знайдемо значення диференціала dy=y'(x0)Dx=-0,02 .

 

7.19. Знайти наближене значення функції y= при x=1,03.

 

Розв’язання.

Визначимо значення x0 і знайдемо Dx:

x0=1; Dx=x-x0=0,03.

Визначимо значення функції y(x) при x=x0:

y(1)=1.

 

Знайдемо похідну функції y’(x) і її значення при x=x0:

; y’(1)=-4.

Обчислимо диференціал функції dy при x=x0:

dy=y'(x0)Dx=-0,12.

Визначимо наближене значення функції y(x) при x=1,03 з відношення y(x)» y(x0)+dy(x0);

y(1,03)» 0,88.

7. 20. Обчислити дані границі за правилом Лопіталя:

1) .

 

Розв’язання. Маємо невизначеність виду ∞–∞. Перетворимо функцію

 

,

маємо:

2) .

Розв’язання. , тут розглядається границя праворуч, оскільки невизначений для х ≤ 0. Маємо невизначеність виду ∞0. Виконаємо перетворення:

 

Зробимо заміну змінної, поклавши . При :

.

Остаточно

.

 

7.21. Знайти частинні похідні першого та другого порядків функції .

Розв’язання.

 

 

 

7.22. Знайти значення частинних похідних в точці Р0 (0;1) функції .

 

Розв’язання. Знаходимо спочатку частинні похідні, використовуючи формулу диференціювання складної функції

 

 

 

Підставляючи координати точки Р0, одержимо

 

, .

 

 

7.23. Знайти частинну похідну по z від функції трьох змінних

 

.

 

Розв’язання. За правилом диференціювання складної функції, вважаючи x та y постійними, одержимо

 

 

 

7.24. Довести, що функція задовольняє рівнянню

 

.

 

Розв’язання. Знаходимо частинні похідні:

 

 

Підставляємо і в дане рівняння:

 

,

 

7.25. Знайти повний диференціал функції

 

Розв’язання. Знаходимо частинні похідні:

 

 

7.26. Дано:

Знайти: 1) 2)

 

Розв’язання. 1) Знаходимо похідну за напрямком:

 

 

2) Знаходимо градієнт функції в точці М:

7.27.Розрахувати еластичність даних функцій і знайти значення показника

еластичності для заданих x

а) y = x3 + 1, x = 1, x = 5;

б) y = e5x , x = 1, x = 0, x = 2;

в) y = 5lnx, x = 10, x = e, x = e4.

Розв’язання: Для розрахунку еластичності використовуємо формулу з визначення еластичності функції. Отже еластичністю функції y = f(x) щодо змінної x називають

Ex(y) = y¢

Розмір Ex(y)при заданому значенні x називають показником абокоефіцієнтом еластичності. Еластичність щодо x є наближений процентний приріст функції (підвищення або зниження), що відповідає збільшенню незалежної змінної на 1%.

а) ; ; ;

б) ; ; ; ;

в) ; ; ; .

7.28. Витрати виробництва x одиниць однорідної продукції виражені рівнянням: y = x3 - 3x2 + 10x. Необхідно знайти: а) обсяг виробництва, при якому середні витрати будуть мінімальними; б) граничні витрати при обсягу виробництва х=4.

Розв’язання:

Знайдемо функцію середніх витрат

Обчислимо обсяг виробництва, при якому середні витрати мінімальні

.

Граничні витрати дорівнюють , а граничні витрати при обсягу виробництва х=4:

 

7.29. Цукровий завод виробляє x одиниць продукції на місяць, залежність між

питомою ціною P і кількістю одиниць продукції x, що можна продавати по цій ціні, така: P = . Розрахувати, при яких умовах прибуток буде максимальним.

Розв’язання:

Функція U, що визначає прибуток заводу, має вид:

U = P(x) × x =

Знайдемо похідну

= = , =0

x = 25

Питома ціна буде дорівнювати P = =2.5.

Відповідь: прибуток заводу буде максимальним при випуску 25 одиниць продукції по питомій ціні 2.5 гр.од.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.