Перепишемо задану функцію у вигляді y = x3/2×(3lnx-2).
Тоді
7.2.
Розв’язання.
7.3. y=(sinx+4)3; y¢-?
Розв’язання. Маємо ступеневу функцію з показником 3 і основою sinx+4. Для знаходження похідної треба скористуватися спочатку правилом знаходження похідної складної степеневої функції,потім суми двох функцій sinx+4- синуса і константи:
y’=3(sinx+4)2(sinx+4)’=3(sinx+4)2×cosx .
y= ; y¢-?
Розв’язання.
Маємо показову функцію з основою e і показником arctg3x ; функція arctg3x- степенева з показником 3 і основою arctgx.
7.5. y=tg6x ; y¢-?
Розв’язання.
y¢=6tg5x×(tgx)’=6tg5x×sec2x .
7.6. y=cos2x; y¢-?
Розв’язання.
y¢=2cosx(cosx)¢=-2cosx×sinx=-sin2x .
7.7. y=sin(2x+3); y¢-?
Розв’язання.
y¢=cos(2x+3)×(2x+3)’=2cos(2x+3).
7.8. y=tg lnx ; y’-?
Розв’язання.
y’=sec2(lnx) ×(lnx)’= × sec2lnx.
7.9. ; y’-?
Розв’язання.
7.10. y=ln(x2+5) ; y’-?
Розв’язання.
7.11. ; y’-?
Розв’язання.
7.12. ; y’-?
Розв’язання.
7.13. Знайти похідну функції .
Розв’язання. Прологарифмуємо обидві частини рівняння:
Продиференціюємо обидві частини одержаного співвідношення по х, оскільки y=y(x),то
звідси
7.14. Знайти y’x з рівняння
Розв’язання. Рівняння визначає у як неявну функцію від х. Продиференціюємо обидві частини по х:
Звідси
Після перетворення правої частини маємо
За наведеними вище правилами знаходять і похідні вищих порядків, при цьому слід пам”ятати, що похідна n-го порядку –це похідна від похідної (n-1)-го порядку, тобто
y(n) =(y(n-1))’,n=2,3,…
7.15. Знайти y'', якщо y=cosx2.
Розв’язання.
y’=-2xsinx2;
y”=-2(sinx2+2x2cosx2).
7.16. Скласти рівняння дотичної до кривої y=arcsinx в точці її перетину з віссю OX.
Розв’язання.
Знайдемо координати точки перетину кривої з віссю ОХ:
y=arcsinx=0, x0=0.
Обчислимо значення y’(x) при одержаному значенні змінної:
Підставимо у рівняння дотичної y-y0=y’(x0)(x-x0)одержані значення
Рівняння дотичної буде мати вигляд y=x.
Якщо функція диференційовна в точці х, тобто має в цій точці скінченну похідну y’,то де a®0 при Dх®0. Звідси Dy=y’Dx+ a Dx.
Головна частина приросту функції Dy, лінійна відносно Dx, називається диференціаломі позначається dy : dy=y'Dx, або dy=y'dx. Справедлива формула: Dy » dy або
f(x+Dx)» f(x)+f'(x)Dx,
яка використовується в наближених обчисленнях.
7.17. Знайти dy, якщо y=x2tg2x.
Розв’язання.
.
7.18. Знайти диференціал при x=9 функції і Dx=-0,06.
Розв’язання.
Знайдемо похідну функції y'(x)
Обчислимо значення y’(x) при x=9
Знайдемо значення диференціала dy=y'(x0)Dx=-0,02 .
7.19. Знайти наближене значення функції y= при x=1,03.
Розв’язання.
Визначимо значення x0 і знайдемо Dx:
x0=1; Dx=x-x0=0,03.
Визначимо значення функції y(x) при x=x0:
y(1)=1.
Знайдемо похідну функції y’(x) і її значення при x=x0:
; y’(1)=-4.
Обчислимо диференціал функції dy при x=x0:
dy=y'(x0)Dx=-0,12.
Визначимо наближене значення функції y(x) при x=1,03 з відношення y(x)» y(x0)+dy(x0);
y(1,03)» 0,88.
7. 20. Обчислити дані границі за правилом Лопіталя:
1) .
Розв’язання. Маємо невизначеність виду ∞–∞. Перетворимо функцію
,
маємо:
2) .
Розв’язання. , тут розглядається границя праворуч, оскільки невизначений для х ≤ 0. Маємо невизначеність виду ∞0. Виконаємо перетворення:
Зробимо заміну змінної, поклавши . При :
.
Остаточно
.
7.21. Знайти частинні похідні першого та другого порядків функції .
Розв’язання.
7.22. Знайти значення частинних похідних в точці Р0 (0;1) функції .
Розв’язання. Знаходимо спочатку частинні похідні, використовуючи формулу диференціювання складної функції
Підставляючи координати точки Р0, одержимо
, .
7.23. Знайти частинну похідну по z від функції трьох змінних
.
Розв’язання. За правилом диференціювання складної функції, вважаючи x та y постійними, одержимо
7.24. Довести, що функція задовольняє рівнянню
.
Розв’язання. Знаходимо частинні похідні:
Підставляємо і в дане рівняння:
,
7.25. Знайти повний диференціал функції
Розв’язання. Знаходимо частинні похідні:
7.26. Дано:
Знайти: 1) 2)
Розв’язання. 1) Знаходимо похідну за напрямком:
2) Знаходимо градієнт функції в точці М:
7.27.Розрахувати еластичність даних функцій і знайти значення показника
еластичності для заданих x
а) y = x3 + 1, x = 1, x = 5;
б) y = e5x, x = 1, x = 0, x = 2;
в) y = 5lnx, x = 10, x = e, x = e4.
Розв’язання: Для розрахунку еластичності використовуємо формулу з визначення еластичності функції. Отже еластичністю функції y = f(x) щодо змінної x називають
Ex(y) = y¢
Розмір Ex(y)при заданому значенні x називають показником абокоефіцієнтом еластичності. Еластичність щодо x є наближений процентний приріст функції (підвищення або зниження), що відповідає збільшенню незалежної змінної на 1%.
а) ; ; ;
б) ; ; ; ;
в) ; ; ; .
7.28. Витрати виробництва x одиниць однорідної продукції виражені рівнянням: y = x3 - 3x2 + 10x. Необхідно знайти: а) обсяг виробництва, при якому середні витрати будуть мінімальними; б) граничні витрати при обсягу виробництва х=4.
Розв’язання:
Знайдемо функцію середніх витрат
Обчислимо обсяг виробництва, при якому середні витрати мінімальні
.
Граничні витрати дорівнюють , а граничні витрати при обсягу виробництва х=4:
7.29. Цукровий завод виробляє x одиниць продукції на місяць, залежність між
питомою ціною P і кількістю одиниць продукції x, що можна продавати по цій ціні, така: P = . Розрахувати, при яких умовах прибуток буде максимальним.
Розв’язання:
Функція U, що визначає прибуток заводу, має вид:
U = P(x) × x =
Знайдемо похідну
= = , =0
x = 25
Питома ціна буде дорівнювати P = =2.5.
Відповідь: прибуток заводу буде максимальним при випуску 25 одиниць продукції по питомій ціні 2.5 гр.од.