Рекомендації до розв’язання типових прикладів розділу 3

3.1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера.

Складемо матрицю системи рівнянь, обчислимо визначник системи та додаткові визначники:

Відповідь: х = 2 ; y = -2 ; z = 1.

3.2. Розв’язати систему лінійних рівнянь, подану в прикладі 1, за допомогою оберненої матриці.

При розв’язуванні попереднього прикладу ми склали матрицю системи А і обчислили визначник . Визначник матриці А не дорівнює нулю, тому матриця А має обернену. Обчислимо алгебраїчні доповнення всіх елементів матриці:

,

Знайдемо обернену матрицю

.

Тоді

.

Відповідь:

3.3. Розв’язати систему лінійних рівнянь, подану у прикладі 1, методом Гаусса:

Виключаємо невідоме х із другого і третього рівнянь

y= – 2

3 z = 5 + y; 3z = 3; z = 1

x = – 3 – 2y + z; x = – 3 – 2 (–2) + 1 = 2

Таким чином, x = 2, y = -2, z = 1.

Відповідь: x = 2, y = -2, z = 1.

3.4. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса:

Виключаємо невідоме х₁ із другого і третього рівнянь

Ділимо друге рівняння на (-6) і виключаємо невідоме х₂ з третього рівняння

Розглянувши третє рівняння, робимо висновок, що система рівнянь не має розв’язків (система лінійних рівнянь несумісна).

3.5. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса

Ділимо перше рівняння на 3 і виключаємо невідоме х₁ з другого і третього рівнянь

Ділимо друге рівняння на і виключаємо х₂ з третього рівняння

Останнє рівняння є тотожністю, його можна відкинути. Одержимо систему

Покладаємо х₃ = t. Тоді з другого рівняння

і з першого рівняння

.

Таким чином, загальний розв’язок системи рівнянь має вигляд

,

де t може приймати будь-які числові значення.

Відповідь: - будь-яке число.

3.6. Розв’язати систему лінійних рівнянь, наведену у прикладі 1, методом Жордана – Гаусса.

х	у	z	bi
1	-1	-1 -1	-3 -1	-1
	-1	-1	-6 -7	-3
	-1	-1	-2 -7	-1
		-1	-2	-1
0		-1	-2	-1
			-2	-1

Пояснення до розрахункової таблиці

Обираємо розв’язувальний елемент а₃₁ (розв’язувальний рядок – третій). Елементи стовпця контрольної суми ( S ) обчислюємо як суму елементів відповідного рядка (наприклад, для першого рядка: 1 + 2 + (-1) + (-3) = -1).

Шляхом елементарних перетворень (множенням елементів розв’язувального рядка на (-1) і додаванням до відповідних елементів першого рядка та множенням елементів розв’язувального рядка на (-2) і додаванням до відповідних елементів другого рядка) обчислимо всі елементи першого та другого рядків, у тому числі і елементи стовпця контрольної суми (розв’язувальний рядок залишається без змін). У результаті виконаних дій одержуємо одиничний вектор у розв’язувальному стовпці. Робимо перевірку правильності розрахунків, порівнюючи суму елементів кожного рядка з відповідним елементом контрольного стовпця.

На другому кроці розв’язувальним елементом може бути обраний будь-який, що не розташований у третьому рядку та першому стовпці, так як на першому кроці розв’язувальним був елемент а_31. Обираємо, наприклад, а₁₂ (тепер розв’язувальний рядок – перший). Слід звернути увагу на коефіцієнт при розв’язувальному елементі: він повинен дорівнювати одиниці. Щоб виконати дану умову, необхідно елементи розв’язувального рядка помножити на 1/3, і далі виконувати дії, як і на попередньому кроці. Таким чином, одержимо три одиничних вектори у перших трьох стовпцях розрахункової таблиці. Розв’язок системи знайдемо у стовпці вільних членів (b_і) проти відповідних одиниць ( з першого рядка: у = -2, з другого рядка: z = 1, з третього рядка: х = 2).

Відповідь: x = 2, y = -2, z = 1.

3.7. Дослідити систему на сумісність.

Виконаємо елементарні перетворення над розширеною матрицею системи:

.

Визначимо ранг матриці А, розширеної матриці та кількість невідомих системи рівнянь:

r (A) = r (A*) = n = 3

За теоремою Кронекера-Капеллі система визначена і сумісна.

Поиск по сайту: