Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Нормальный закон распределения непрерывных случайных величин



Наиболее важным распределением непрерывных случайных величин является нормальное распределение. Множество явлений в практической жизни можно описать с помощью модели нормального распределения, например, распределение высоты деревьев, площадей садовых участков, массы людей, дневной температуры и т. д. Нормальное распределение используется и для решения многих проблем в экономической жизни. Например, распределение числа дневных продаж в магазине, числа посетителей универмага в неделю, числа работников в некоторой отрасли, объемов выпуска продукции на предприятии и т. д.

Нормальное распределение находит широкое применение и для аппроксимации распределения дискретных случайных величин. Так, например, доходы от определенных видов рискованного бизнеса приблизительно подчиняются нормальному распределению.

Нормальное распределение иногда называют законом ошибок. Например, отклонения в размерах деталей от установленного объясняются многими причинами, каждая из которых влияет на размер детали, так что отклонение, которое фактически регистрируется при измерениях, является суммой большого числа отклонений (ошибок).

Нормальная случайная величина имеет плотность распределения, определяемую формулой:

где –∞<x <+∞, а=М(Х), λ=σ(Х).

Основные свойства f(x):

а) функция f(x) существует при любых действительных значениях х и принимает только положительные значения. Следовательно, нормальная кривая распределения расположена выше оси абсцисс;

б) при неограниченном возрастании х по абсолютной величине f(x) стремится к нулю, значит ось абсцисс служит горизонтальной асимптотой кривой нормального распределения;

в) максимальное значение функция f(x) принимает в точке, соответствующей математическому ожиданию случайной величины х.

Действительно, приравнивая первую производную от f(x) к нулю, т.е.

убеждаемся, что f(x)'=0 при х=a; f'(х)>0 при х<а; f'(x)<0 при х>а.

Следовательно, функция f(х) принимает максимальное значение в точке х=а;

г) кривая нормального распределения симметрична относительно прямой х=а, поскольку разность xа входит в формулу в квадрате.

д) кривая нормального распределения имеет две точки перегиба, симметрично расположенные относительно прямой х=а, с абсциссами точек перегиба а–λ и а+λ и ординатами 1/(λ√2π).

Формула содержит два параметра: математическое ожидание а=М(Х) и стандартное отклонение λ=σ(X). Следовательно, существует бесконечно много нормально распределенных случайных величин, у которых разные M(Х) и σ(X). Графики их плотностей имеют одинаковую форму – симметричную, колоколообразную. Если М(Х) и σ(X) известны, то из семейства нормальных случайных величин выделяем конкретную нормальную случайную величину с определенной плотностью.

Математическое ожидание а – это величина, которая характеризует положение кривой распределения на оси абсцисс. Изменение параметра а при неизменном λ приводит к перемещению оси симметрии (х=а) вдоль оси абсцисс и, следовательно, к соответствующему перемещению кривой распределения. М(Х)=а иногда называют центром распределения или параметром сдвига. При х=М(Х)=а плотность распределениявероятности наибольшая, а вследствие симметрии плотности а=Мое, и площадь, расположенная под кривой, делится пополам осью симметрии. Здесь Мо – мода распределения, Ме – медиана.

 
 

Рис 1. Кривые плотности нормального распределения с различными а и σ.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал вычисляются по формуле:

P(a<X<b)= . (11)

Формула (11) называется интегральной теоремой Лапласа.

Свойства F(z):

а) функция F(z) является нечетной функцией; т.е. F(–z)=F(z);

б) при z=0 функция Лапласа равна нулю =0;

в) при z®+∞ F(z)® 0,5; при z® –∞ F(z)® –0,5.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.