Свойства интегральной функции

Тема: Непрерывные случайные величины

План:

1. Определение непрерывной случайной величины. Функция распределения непрерывной случайной величины.

2. Дифференциальная функция непрерывных случайных величин.

3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

4. Равномерный закон распределения непрерывных случайных величин.

5. Нормальный закон распределения непрерывных случайных величин.

6. Показательный закон распределения непрерывных случайных величин.

7. Закон больших чисел.

8. Заключение и контрольные вопросы.

Цель лекции: рассмотреть понятие непрерывной случайной величины, законы распределения непрерывных случайных величин и числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Литература:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика, гл. 9. §§ 1-6.; гл. 10, §§ 1-6; гл. 11, §§ 1-6, гл. 12, §§ 1-6, гл. 13, §§ 1-6.

1. Определение непрерывной случайной величины. Функция распределения непрерывной случайной величин.

Определение 1. Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать любые значения на числовом интервале.

Примеры непрерывных случайных величин: возраст студентов, длина ступни ноги человека, масса детали и т.д. Это положение относится ко всем случайным величинам, измеряемым на непрерывной шкале, таким, как меры веса, длины, времени, температуры, расстояния. Измерение может быть проведено с точностью до какого-нибудь десятичного знака, но случайная величина – теоретически непрерывная величина. В экономическом анализе находят широкое применение относительные величины, различные индексы экономического состояния, которые также вычисляются с определенной точностью, скажем, до двух знаков после запятой, хотя теоретически их значения являются непрерывными случайными величинами.

Закон распределения непрерывной случайной величины, можно задать в виде интегральной функции распределения, которая является наиболее общей формой задания закона распределения случайной величины, а также в виде дифференциальной функции (плотности распределения вероятностей), которая используется для описания распределения вероятностей только непрерывной случайной величины.

Пусть Х – некоторая случайная величина, и пусть х – некоторое заданное действительное число. Рассмотрим событие: величина Х приняла значение меньшее х, то есть событие X < x.

Очевидно, что это случайное событие. Вероятность этого события p(X<x) – изменяется с изменением х, то есть эта вероятность есть некоторая функция F(х), которую и называют интегральной функцией величины Х.

Определение 2. Интегральной функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), значение которой для любого х равно вероятности того, что случайная величина примет значение меньшее х, то есть

F(x) = p(X < x) (1)

Свойства интегральной функции

1. Значения интегральной функции принадлежит отрезку [0; 1]:

0£ F(x) £1.

2. F(x) - неубывающая функция, то есть, если х₂ > x₁, то F(x₂) ³ F(x₁).

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина принимает значение, заключенное в интервале (a; b), равна приращению интегральной функции на этом интервале

p(a < X < b) = F(b) - F(a). (2)

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение х₀, равна нулю:

p(X = x₀) = 0.

Из этого следствия заключаем, что для непрерывной случайной величины нет смысла говорить о вероятности того, что она примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый.

Этот факт полностью соответствует требованиям практики: проверяют, чтобы размеры детали, изделия не выходили за дозволенные границы, то есть каждому размеру определяют допуски.

3. Если численные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то

F(x) = 0 при х £ а; F(x) = 1 при х ³ b.

Следствие. Если численные значения случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы предельные равенства:

Для непрерывной случайной величины интегральная функция является непрерывной. Для дискретной случайной величины интегральная функция является разрывной и имеет ступенчатый вид.

Непрерывную случайную величину можно задать не только интегральной функцией, но и дифференциальной функцией распределения вероятностей.

Поиск по сайту: