Теорема 1. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны.

ТЕМА 10.3. ПАРАЛЛЕЛИПИПЕД И ЕГО СВОЙСТВА.

Определение параллелепипеда. Свойства параллелепипеда с доказательствами. Куб.

Параллелепи́пед - призма, основанием которой служит параллелограмм.

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники;
• Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани — прямоугольники;
• Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

1. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
2. Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
3. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б=Р_о*h, где Р_о — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности S_п=S_б+2S_о, где S_о — площадь основания

Объём V=S_о*h

] Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б=2c(a+b), где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности S_п=2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани — параллелограммы.

На рисунке 12, а) изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 12, б) — прямой параллелепипед.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

Теорема 1. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны.

Доказательство: Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например и (рис. 13). Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то прямая параллельна прямой , а прямая параллельна прямой . Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда - параллелограммы, следует, что отрезки , , и - параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань совмещается параллельным переносом вдоль ребра с гранью . Значит, эти грани равны.

Аналогично доказывается параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

Поиск по сайту: