Додавання, віднімання, множення і ділення цілих чисел. Теореми про існування та єдиність цих операцій. Закони операцій додавання і множення.

4. Приступаючи до побудови множини цілих чисел, ми зазначали, що операції над новими числами слід означити так, щоб, з одного боку, правила виконання операцій над старими числами збереглися, а з іншого - вони б не суперечили правилам виконання цих операцій у попередній числовій множині. Саме тому будемо при означенні операцій над цілими числами враховувати вказані зауваження. Отже, приймемо наступні означення.

Означення: сумою двох цілих чисел а і b, називається таке третє ціле число а+b, що виконуються наступні правила: 1) сума двох цілих чисел з однаковими знаками дорівнює сумі їх модулів, взята із спільним знаком; 2) сума двох цілих чисел з різними знаками дорівнює різниці модулів цих чисел, яка взята із знаком більшого модуля; 3) сума протилежних чисел дорівнює нулю; 4) додавання з нулем не змінює цілого числа.

У математиці доведено, що операція додавання у множині цілих чисел існує, єдина та підкоряється комутативному й асоціативному законам. Пропонуємо студентам сформулювати відповідні теореми.

Означення: різницею цілих чисел а і b називається таке ціле число с=а-b, що с+b=а.

Для того, щоб довести теорему про існування та єдиність різниці, слід довести таке допоміжне твердження: «для будь-яких цілих чисел а і b виконується рівність а-b=а+(-b)». Справді, оскільки для кожного цілого числа b існує протилежне йому ціле число –b і b+(-b)=0, то (а+(-b))+b=а. Звідси маємо а-b=а+(-b). Доведене твердження дає змогу операцію віднімання цілих чисел звести до операції додавання. Наприклад, 12-(-8)=12+8=20.

Означення: добутком двох цілих чисел а і b, називається таке третє ціле число аb, що виконуються наступні правила: 1) добуток двох цілих чисел з однаковими знаками дорівнює добутку їх модулів, взятому із знаком плюс; 2) добуток двох цілих чисел з різними знаками дорівнює добутку їх модулів, взятому із знаком мінус; 3) добуток будь-якого цілого числа на нуль дорівнює нулю; 4) добуток будь-якого цілого числа на одиницю дорівнює цьому цілому числу.

Оскільки в означенні нічого не говориться про існування, єдиність та властивості операції множення, то в множині цілих чисел слід сформулювати та довести відповідні теореми. Пропонуємо студентам сформулювати ці теореми, виконавши завдання для самостійної роботи.

Означення: часткою цілих чисел а і b називається таке ціле число с=а:b, що сb=а.

Якщо а=0, то для будь-якого цілого числа b≠0 частка існує і 0:b=0. Якщо а=0 і b=0, то вираз 0:0 не має смислу. Якщо а≠0 і b=0, то ні для жодного цілого числа с не може виконуватися рівність с•0=а. Саме тому частка а:0 не існує. Таким чином, і в множині цілих чисел ділити на нуль неможливо. В математиці доведено справедливість наступної теореми «частка цілих чисел а і b, де b≠0, існує тоді і тільки тоді, коли а=сb, де сєZ». Отже, ми означили в множині цілих чисел всі чотири арифметичні операції так, щоб вони, по-перше, не суперечили правилам виконання цих дій над натуральними числами, по-друге, підкорялися тим же законам.

МОДУЛЬ У. «РОЗШИРЕННЯ ПОНЯТТЯ ПРО ЧИСЛО».

Змістовний модуль 5.2. «Раціональні числа.».

ПЛАН.

1. Необхідність розширення множини цілих чисел.

2. Поняття дробу. Рівність дробів. Основна властивість дробів. Скорочення дробів та їх зведення до спільного знаменника. Нескоротні дроби.

3. Невід’ємні раціональні числа та їх властивості.

4. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.

5. Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.

6. Множення і ділення невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність добутку та частки. Властивості (закони) множення.

7. Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.

8. Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.

9. Додатні раціональні числа як нескінченні періодичні десяткові дроби. Чисті та мішані періодичні дроби та їх перетворення у звичайні.

10. Множина раціональних чисел, модуль раціонального числа, операції над раціональними числами. Властивості множини раціональних чисел.

ЛІТЕРАТУРА:[1] – с. 172-238; [2] – с. 193-246, 325-340; [3] – с. 181-196.

Поиск по сайту: