Метод заміни змінної у визначеному інтегралі

Питання до пари

Знати означення і формулювання теорем

- -розбиттям

- - це

- Криволінійна трапеція – це

- теорему Барроу

- інтегральною сумою

Формула Ньютона-Лейбніца

Для пошуку способу обчислення визначеного інтеграла встановимо зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралами. Для цього розглянемо , де функція є неперервною на та інтегровною на ньому, - довільна фіксовна точка відрізка .

Цей інтеграл називають визначеним інтегралом із змінною верхньою межею. Очевидно, він є функцією від , тому позначимо його через .

Має місце наступна теорема Барроу:

Якщо функція - неперервна на , то функція - диференційовна на цьому відрізку, причому для усіх .

Тобто для всякої неперервної на функції завжди існує первісна, та однією з цих первісних є визначений інтеграл із змінною верхнею межею. Таким чином, встановлений зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралами.

Ефективний і простий спосіб обчислення визначеного інтеграла дається формулою Ньютона-Лейбніца:

,

де - неперервна на , - яка-небудь її первісна.

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Первісною від даної підінтегральної функції є . Обчислимо її значення при верхній границі , при нижній границі . За формулою Ньютона-Лейбніца значення інтегралу становить .

Розв’язування може бути подане у вигляді:

.

2. .

3.

.

4.

.

5.

.

6. .

Первісну можна знайти, використавши формулу пониження степеня: . Отримаємо:

.

7. .

Для знаходження первісної в знаменнику виділимо повний квадрат.

.

8. .

Знайдемо первісну функції. Для цього правильний дріб представимо у вигляді суми найпростіших дробів, а саме

.

Звільнившись від знаменника, маємо:

.

Отже, .

Тоді

.

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ;

6. ;

Метод заміни змінної у визначеному інтегралі

Нехай треба обчислити інтеграл , де функція - неперервна на . Якщо виконуються умови:

1) функція неперервна разом із своєю похідною на відрізку ;

2) , ;

3) при змінюванні на відрізку значення функції не виходять за межі відрізка , то справедлива формула заміни змінної (або підстановки) у визначеному інтегралі:

(1.1)

.

Треба відзначити, що іноді набагато зручніше замість підстановки використовувати так звану «обернену» підстановку , де функція є строго монотонною і неперервно диференційовною на відрізку , а множиною її значень є відрізок . Тоді для неї існує обернена функція , яка задовольняє переліченим вище умовам. Отже, в цьому випадку маємо:

(1.2)

.

Звернемо увагу на те, що на відміну від заміни змінної у невизначеному інтегралі, заміна змінної у визначеному інтегралі не потребує повернення до початкової змінної. Треба лише змінити межі інтегрування за формулами (1.1) або (1.2).

Поиск по сайту: