Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.
Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:
Решение иррациональных уравнений стандартного вида:
а) Решить уравнение = x – 2,
Решение. = x – 2,
2x – 1 = x2 – 4x + 4, Проверка:
x2 – 6x + 5 = 0, х = 5, = 5 – 2,
x1 = 5, 3 = 3
x2 = 1 – постор. корень х = 1, 1 – 2 ,
Ответ: 5 пост. к. 1 -1.
б) Решить уравнение = х + 4,
Решение.
= х + 4,
Ответ: -1
в) Решить уравнение х – 1 =
Решение.
х – 1 =
х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,
х3 – 4х2 + 4х = 0,
х(х2 – 4х + 4) = 0,
х = 0 или х2 – 4х + 4 = 0,
(х – 2)2 = 0,
х = 2
Ответ: 0; 2.
г) Решить уравнение х – + 4 = 0,
Решение.
х – + 4 = 0,
х + 4 = , Проверка:
х2 + 8х + 16 = 25х – 50, х = 11, 11 – + 4 = 0,
х2 – 17х + 66 = 0, 0 = 0
х1 = 11, х = 6, 6 – + 4 = 0,
х2 = 6. 0 = 0.
Ответ: 6; 11.
· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:
Решить уравнение
Решение.
возведем обе части уравнения в квадрат
3x – 5 – 2
2x – 2 = 2
x –1 =
x Проверка:
x x = 3,
4x 1 = 1.
x = 1,75
х1 =3
х2 =1,75 пост. корень Ответ: х1 =3
Показательные уравнения.
Пример 1
Решить уравнение:
Решение: Представим 64 как и перепишем заданное уравнение в виде: . Это уравнение равносильно уравнению: .
Ответ: х=5
Пример 2
Решить уравнение: ;
Решение: Преобразуем как и перепишем заданное уравнение в виде:
. Это уравнение равносильно уравнению:
откуда находим .
Ответ: х = 2
Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)
Пример 3
Решить уравнение: .
Решение: Заметив, что
Перепишем заданное уравнение в виде:
Вводим новую переменную: , тогда уравнение примет вид:
Решив квадратное уравнение, получим: 4, 6. Но так как , то надо решить два уравнения:
Решим первое уравнение:
Рассмотрим второе уравнение.
Второе уравнение не имеет решения, так как для любых значений х.
Ответ: 2
Метод выноса за скобки
Пример 4
Решить уравнение:
В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть . В результате получим:
;
;
;
;
;
Ответ: х = 2.
4.1 Вынесение общего множителя за скобки.
Системы показательных уравнений
Пример 5
Решить систему.
Решение: Воспользуемся способом подстановки. Выразив из первого уравнения у, получим . Тогда или откуда
Следовательно, .
Ответ: .
Поиск по сайту: