Условия дифференцирования и интегрирования

Уточним теперь, как связаны условия А и Б, а также использованные выше понятия «малого» и «большого» ₀ с параметрами R, C, L и характеристиками сигнала.

Пусть входной сигнал U_вх(t) обладает спектральной плотностью , т.е.

(12)

Тогда при точном дифференцировании для выходного сигнала получим:

, (13)

откуда следует, что коэффициент передачи идеального дифференцирующего четырёхполюсника () равен:

(14)

Рассмотренная нами дифференцирующая цепь (рис.2) имеет коэффициент передачи:

(15)

Из сравнения (14) и (15) видно, что рассмотренная нами цепь будет тем ближе к идеальной, чем лучше выполняется условие

₀ << 1 (16)

Причём, для всех частот в спектре входного сигнала. Для упрощения оценки в неравенство (16) обычно подставляют максимальную частоту в спектре входного сигнала _m0 << 1.

Итак, чтобы продифференцировать некоторый сигнал, необходимо найти его спектральный состав и собрать RC-цепь с постоянной времени ₀ << _m^-1, где _m - максимальная частота в спектре входного сигнала.

9. Компенсированный делитель напряжения. Прохождение прямоугольного сигнала.

Предположим, что входной сигнал представляет постоянное напряжение. Тогда необходимая величина выходного напряжения просто достигается выбором сопротивлений R₁, R₂. Проблема усложняется, когда к нижнему плечу резистивного делителя подключена емкость. Это может быть емкость монтажа, входная емкость измерительного прибора и другие. Поэтому схема приобретает структуру запаздывающего, интегрирующего звена, а передача коротких импульсных сигналов, высокочастотных сигналов сопровождается частотными искажениями, вносящими погрешность в результаты исследования. Для минимизации этих паразитных частотных искажений верхнее плечо делителя дополнительно шунтируется емкостью С₂.

Исследуем теперь качество прохождения одиночного импульса с амплитудой А и конечной длительностью t_и через рассматриваемую цепь, найдя предварительно ее передаточную характеристику:

,

или

, (2.39)

где R_экв = R₁R₂ – параллельное соединение сопротивлений; С_экв = = (С₁+С₂) – параллельное соединение емкостей.

Получив далее изображение выходного сигнала (при известном изображении входного сигнала U_вх(p) = A/p), найдем зависимость выходного напряжения от времени:

при t₀ < t < t_и, (2.40)

где _экв = R_экв C_экв – эквивалентная постоянная времени цепи.

Формула показывает, что в начальный момент времени происходит скачок напряжения на выходе схемы, определяемый отношением емкостей, а затем выходной сигнал стремится по закону экспоненты с постоянной времени _экв к установившемуся значению, зависящему уже от отношения сопротивлений. Сказанное иллюстрируется диаграммами рис. 2.12, из которых следует, что начальный скачок может быть как больше, так и меньше установившегося значения. При равенстве R₁C₁ =R₂ C₂ начальный скачок и установившееся значение оказываются равными, что свидетельствует об идеальном характере передачи входного сигнала.

10. При использовании этих методов задача решается путем графических построений на плоскости. При этом характеристики всех ветвей цепи следует записать в функции одного общего аргумента. Благодаря этому система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным. Формально при расчете различают цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями.

а) Цепи с последовательным соединением резистивных элементов.

При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координат строится результирующая зависимость . Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой опускается ортогональ на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей определяются напряжения на отдельных резистивных элементах.

Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 2,б, соответствующие цепи на рис. 2,а.

Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом –методом пересечений. В этом случае один из нелинейных резисторов, например, с ВАХ на рис.2,а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения точка а (см. рис. 3) пересечения кривых и определяет режим работы цепи. Кривая строится путем вычитания абсцисс ВАХ из ЭДС Е для различных значений тока.

Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам.

б) Цепи с параллельным соединением резистивных элементов.

При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координат строится результирующая зависимость . Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ ), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой опускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостей определяются токи в ветвях с отдельными резистивными элементами.

Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 4,б, соответствующие цепи на рис. 4,а.

в) Цепи с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов.

1. Расчет таких цепей производится в следующей последовательности:

Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано в пункте б).

2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов (см. пункт а), на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях.

Динамическая характеристика измерительного устройства - это зависимость выходного сигнала от входного в динамическом режиме работы.

(См. также понятие "статической характеристики" на стр.9).

Динамическую характеристику измерительного устройства принято описывать дифференциальным уравнением, передаточной или комплексной частотной функциями.

В подавляющем большинстве случаев динамическая характеристика измерительных устройств в линейной части статической характеристики (для измерительных устройств с линейной статической характеристикой во всем диапазоне преобразований) может быть описана дифференциальным уравнением вида:

an + an-1 + ... + a1 + Y(t) = KX(t) ,

(2.9)

или соответствующей передаточной функцией:

W(p) = ,

(2.10)

либо

где Y(t) и X(t) - выходной и входной сигналы измерительного устройства как функции времени;

n - число, определяющее порядок производной;

Y(p) и X(p) - изображения выходной и входной величин, получаемые с помощью преобразований Лапласа.

Передаточную функцию W(p) можно рассматривать как коэффициент преобразования измерительного устройства в динамическом режиме

Поиск по сайту: