Геометрический смысл смешанного произведения
Числе равно объему параллелепипеда .
ǡ, ḃ, ĉ – взяты со знаком «+», если тройка правая или «-», если тройка левая.
Vпар-да = |(ǡ х ḃ) *ĉ |
Задача о вычислении объема пирамиды с помощью смешанного произведения.
Vпир-да = |(ǡ х ḃ) *ĉ | * 1/6
29. Компланарные векторы. Определение.
Три вектора называются компланарными, если располагаться в одной плоскости или в ││ плоскостях.
30. Условие компланарности векторов.
1. Если из 3-х векторов один Ȱ
2. (ǡ, ḃ, ĉ) = 0
3. Если вектора линейно зависимы
4. Если из 3-х векторов, пара коллинеарная
Векторное произведение векторов в декартовом базисе.
ǡ = α1 ī + α2 ῑ + α3 ǩ
ḃ = β1 ī + β2 ῑ + β3 ǩ
Смешанное произведение векторов в декартовом базисе.
ǡ = α1 ī + α2 ῑ + α3 ǩ
ḃ = β1 ī + β2 ῑ + β3 ǩ
ĉ = ϒ1 ī + ϒ2 ῑ + ϒ3 ǩ
Векторно-параметрическое уравнение плоскости.
ṝ = ṝ0 +uṗ + v ǭ
Векторное уравнение плоскости.
(ṝ - ṝ0)(ṗ х ǭ) = 0
ṝ * ň = D
Общее уравнение плоскости ( координатная форма).
Ax + By + Cz = D , где D = Ax0 + By0 + Cz0
Уравнение плоскости в «отрезках на осях». Геометрический смысл коэффициентов.
x/a + y/b + z/c = 1 a,b,c – это отрезки которые плоскость отрезает на осях.
Условие параллельности 2-х плоскостей.
α1 : ṝ1 * ň1 = D1 α1 ϵ m1
α2 : ṝ2 * ň2 = D2 α2 ϵ m2
ň1 || ň2 ḻ m1 m2
Условие совпадения 2-х плоскостей.
α1 : ṝ1 * ň1 = D1 α1 ϵ m1
α2 : ṝ2 * ň2 = D2 α2 ϵ m2
ň1 || ň2 ḻ m1 m2
Условие пересечения 2-х плоскостей.
α1 : ṝ1 * ň1 = D1
α2 : ṝ2 * ň2 = D2
ň1 || ň2
Условие ортогональности 2-х плоскостей.
α1 : ṝ1 * ň1 = D1
α2 : ṝ2 * ň2 = D2
ň1 ḻ ň2
Задача о вычислении угла, образованного пересекающимися плоскостями.
Угол между плоскостями – это наименьший угол, образованный нормалями к этим плоскостям, проеденной к общему началу.
(α^β) = (ň1 ^ ň2) = ϕ
Cos ϕ = (ň1 * ň2) / (|ň1 |*| ň2|)
Векторно-параметрические уравнение прямой в пространстве.
ṝ = ṝ0 + ŝt
Каноническое уравнение прямой в пространстве.
(x – x0) / m = (y – y0) / n =(z – z0) / p
Векторное уравнение прямой в пространстве.
(ṝ - ṝ0) || ŝ => (ṝ - ṝ0) x ŝ = Ȱ
ṝ x ŝ = ṝ0 x ŝ , тогда ṝ x ŝ = ā
Уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении.
1. Ax + By + C = 0 при A2 + B2 ≠ 0 - общее уравнение
2. х / а + у / в = 1 - уравнение в отрезках на осях
3. у = кх + в - уравнение с угловым коэффициентом
Взаимное расположение прямых на плоскости.
1. c1 ||c2
ŝ1 || ŝ2 || m1 m2
2. c1 совпадает с c2
ŝ1 || ŝ2 || m1 m2
3. c1 скрещиваются c2
ŝ1 || ŝ2
Условие параллельности и ортогональности прямых на плоскости.
Вопрос № 46
Угол между прямыми на плоскости.
Угол между c1 и c2 называется угол ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ п ), образован их направлением векторами ŝ1 и ŝ2.
оу: уc1= к1 х + в1 ; к1 = tg α1
уc2 = к2 х + в2 ; к2 = tg α2
tg (α1 – α2) = tg ϕ = (к2 – к1) / (1 + к2 к1)
Условие параллельности 2-х прямых в пространстве.
c1 ||c2
ŝ1 || ŝ2 || m1 m2
Условие совпадения 2-х прямых в пространстве.
c1 совпадает с c2
ŝ1 || ŝ2 || m1 m2
Условие пересечения 2-х прямых в пространстве.
c1 скрещиваются c2
ŝ1 || ŝ2
ŝ1 , ŝ2 , m1 m2 - компланарные
Условие скрещивающихся прямых в пространстве.
c1 скрещивается c2
ŝ1 || ŝ2
ŝ1 , ŝ2 , m1 m2 - некомпланарные
Угол между прямыми в пространстве.
c1 : у = к1 х + в1
c2 : у = к2 х + в2
tg ϕ = (к2 – к1) / (1 + к2 к1)
Условие параллельности прямой и плоскости.
с || α
A ϵ α ; B ϵ c
ŝ ḻ ň AB ḻ ň
Условие принадлежности прямой плоскости.
с ϵ α
A ϵ α ; B ϵ c
ŝ ḻ ň AB ḻ ň
Условие ортогональности прямой и плоскости.
с ϵ α
A ϵ α ; B ϵ c
ŝ || ň AB совпадают ň
Задача о вычислении угла, образованного прямой и плоскостью.
с и α
cos ϕ = | ŝ * ň | / (|ŝ|*|ň|)
sin ө = cos ϕ
sin (с ^α) = | ŝ * ň| / (|ŝ|*|ň|)
Матрицы. Виды матриц.
Матрицы – прямоугольная таблица состоящая из m х n элементов, записанных в m строк и n столбцов.
Если m = n, то матрица квадратная.
Симметричная матрица, если элементы Aij = Aji .
Треугольные матрицы.
Единичная матрица – если на диагонали единицы остальные нули.
Линейные операции над матрицами.
К линейным операциям относиться сложение матриц и у умножение их на число.
1. A(m x n) + B(m x n) = C(m x n)
2. λ* A(m x n) = B(m x n)
Сложение матриц. Свойства операции сложения матриц.
Сложение определенно только для матриц одинакового размера.
A(m x n) + B(m x n) = C(m x n)
Свойства:
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A + 0 = A
4. A + (-A) = ʘ
Умножение матрицы на число. Свойства операций умножения матрицы на число.
λ* A(m x n) = B(m x n)
Свойства:
1. λ (µА) = (λµ) А
2. (λ + µ) А = λА + µА
3. λ (А +В) = λА + λВ
4. 1*А = А
5. 0*А = ʘ
6. λ*ʘ = ʘ
Поиск по сайту:
|