Свойства смешанного произведения

Линейное пространство. Основные аксиомы.

Пусть задано множество L элементов любой природы и заданы правила по которым выполняется две операции

1.

2. каждому элементу X из L и любому вещественному числу, ставиться соответствие элементу S из Z, называется произведением λ*Х. пусть кроме этого эти две операции удовлетворяют следующим условиям:

Аксиомы

1. x+y=y+x ᵿ x,yϵZ

2. (x+y)+z=x+(y+z) ᵿ x,y,zϵZ

3. ᴲ Ȱ х+Ȱ=х ᵿ xϵZ

4. x+(-x)=0 ᵿ xϵZ

5. x*1=x ᵿ xϵZ

6. λ(µx)=(λµ)x ᵿ xϵZ, ᵿ λ,µϵR

7. (λ+µ)*x=λx+µx ᵿ xϵZ, ᵿ λ,µϵR

8. λ(x+y)=λx+λy ᵿ xϵZ, ᵿ λ,µϵR

Определение линейной зависимости элементов.

Система векторов х₁,...х_n ϵL называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация=0.

Определение линейной независимости элементов.

Система векторов х₁,...х_n ϵL называется линейно независимой, если только тривиальная комбинация =0

Теоремы о линейной зависимости элементов.

1. Если в системе векторов х₁,...х_n хотя бы один элемент =0, то система линейно зависима.

2. Если в системе векторов х₁,...х_n содержит линейно зависимые подсистему х₁,...х_m (m<n), то исходная система линейно зависима.

Базис в пространстве. Декартов базис.

Базисом в пространстве L называют любую упорядоченную конечную систему векторов удовлетворяющим условиям:

1. Эта система линейно независима.

2. Каждый вектор x из L можно представить в виде линейной комбинации векторов входящих в эту систему.

Любой не Ȱ вектор ǡ, например, любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов ǡ₁ ǡ₂ на плоскости и любая упорядоченная тройка неколлинеарных векторов ǡ₁ ǡ₂ ǡ₃ в пространстве. Называется базисом множества всех векторов лежащих соответственно на прямой, на плоскости и в пространстве сами эти векторы называются базисами декартов.

Декартовая система координат.

Осями декартовой системы координат является ортонормированный базис.

ǡ₁ ḻ ǡ₂ ḻ ǡ₃ – ортогональный базис

│ǡ₁│=│ǡ₂│=│ǡ₃│=1 – нормированный базис

Проекция вектора на ось.

Проекция ǡ на ось l – это длина вектора │ǡ’│ начало и конец которого получены проецированием на ось l начала и конца вектора ǡ .

x=a_xПр_охǡ

y=a_yПр_oyǡ

z=a_zПр_ozǡ

Если вектор ǡ’ и х сонаправлены, то проекция положительна. Если вектора противонаправлены, то – отрицательна.

Проекция ǡ=│ǡ│*cos(х^ǡ) тогда кординаты вектора можно , кординаты это проекция вектора на координатную ось.

Геометрический смысл координат.

x=│ǡ│cosα

y=│ǡ│cosβ

z=│ǡ│cosϒ

ǡ= x ī + yῑ + zǩ = │ǡ│*( cosαȋ + cosβῑ + cosϒǩ )

Геометрический смысл линейной зависимости 2-х векторов.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные.

ǡ=λḃ => ǡ││ḃ

Геометрический смысл линейной зависимости 3-х векторов.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они комплонарны.

ĉ = λǡ + µḃ * т.к. ḃ и ǡ лежат в одной плоскости => λǡ и µḃ тоже лежат в одной плоскости, * задает формулу сложения векторов по правилу параллелограмма => ĉ лежит в той же плоскости.

Линейная зависимость 4-х векторов.

Любые 4 (и более) векторов в пространстве линейно зависимы.

Скалярное произведение векторов. Определение.

Скалярное произведение ǡ на ḃ называется число = произведения |ǡ|*|ḃ|cos (ǡ^ ḃ)

ǡ*ḃ = |ǡ| Пр_ǡ ḃ

Свойства скалярного произведения.

1. ǡ*ḃ = ḃ*ǡ

2. ( λǡ )ḃ = λ(ǡ*ḃ)

3. (ǡ+ḃ)*ĉ = ǡĉ+ḃĉ

4. ǡ ḻ ḃ <=> ǡ*ḃ=0

5. ǡ*ǡ = ǡ² = | ǡ²| |ǡ| = ǡ²

6. ǡ*ǡ = 0 => ǡ = Ȱ

7. cos (ǡ^ḃ) = (ǡ*ḃ) / (|ǡ|*|ḃ|)

Вычисление угла между векторами.

cos (ǡ^ḃ) = (ǡ*ḃ) / (|ǡ|*|ḃ|)

Формула вычисления длины вектора в любом базисе.

|ǡ| = (ǡ^ḃ) / Пр_ǡ ḃ

Формула длины вектора в декартовом базисе.

|ǡ| = a_x² + a_y² + a_z²

Условие ортогональности 2-х векторов.

Для того чтобы два вектора были ортогональны необходимо и достаточно

1. ǡ ḻ ḃ => ǡ*ḃ = 0

2. ǡ ḻ ḃ => ǡ^ḃ = п/2

Скалярное произведение векторов в декартовом базисе.

ǡ*ḃ = α₁ β₁ + α₂ β₂ + α₃ β₃

Векторное произведение векторов. Определение.

Векторным произведением ǡ на ḃ называется некоторый вектор ĉ удовлетворяющий 3-м условиям

1. |ĉ| = |ǡ||ḃ|*sin (ǡ^ḃ)

2. ĉ ḻ ǡ , ĉ ḻ ḃ

3. ǡ, ḃ, ĉ – составляют правую тройку

ǡ х ḃ = ĉ

Свойства векторного произведения.

1. ǡ х ḃ = -ḃ х ǡ

2. ( λǡ ) х ḃ = λ(ǡ х ḃ) = ǡ х ( λḃ)

3. (ǡ + ḃ) х ĉ = ǡ х ĉ + ḃ х ĉ

4. ǡ х ḃ = Ȱ <=> ǡ || ḃ

5. ǡ x ǡ =Ȱ

Геометрический смысл векторного произведения.

Длина результата векторного произведения численно равна площади параллелограмма

S = | ǡ х ḃ |

Задача о вычислении площади треугольника с помощью векторного произведения.

S = | ǡ х ḃ |*1/2

Коллинеарные вектора. Определение.

Вектор называется коллинеарным, если они лежат на || прямых или на одной прямой.

Условие коллинеарности векторов.

1. x₁ / x₂ = y₁ / y₂ = z₁ / z₂

2. ǡ х ḃ = 0

Смешанное произведение векторов. Определение.

Смешанным произведением называется число равное векторному произведению ǡ и ḃ умноженному скалярно на ĉ.

(ǡ х ḃ) *ĉ

Свойства смешанного произведения.

1. (ǡ х ḃ) *ĉ = ǡ*(ḃ х ĉ)

2. (λǡ х ḃ)*ĉ = λ(ǡ х ḃ)*ĉ

3. (ǡ + ḃ)*(ĉ х ḋ) = ǡ(ĉ х ḋ) + ḃ(ĉ х ḋ)

4. ǡḃĉ = ḃĉǡ = ĉǡḃ = -ĉḃǡ = -ǡĉḃ = -ḃǡĉ

Поиск по сайту: