Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Скалярное произведение.Длина вектора.Геометрическая интерпритация в случае двух и трех измерений



Векторное пространство. Пространство арифметических и геометрических векторов

Множ V назыв вект простр над множ R, если там определены операции умножения на число и сложение, и обладающие следующими св-ми:

А)(а(вектора)+в)+с=а+(в+с)-ассоциативность Б)а+0=0+а=а-ненул вект

В) ∃(-а0) –а=(-а1,-а2..-аn)-сущ противопол вект Г)а+в=в+а-коммуникативность Д)a(mа)=(am)-ассоциативность Е)1*а=а Ж)(a+m)+а=aа+mа-дистрибутивность относительно скаляров З)a(а+в)=aа+aв-…векторов

Арифметические вектора.N мерный арифм вект-упорядоченный набор из N вещественных чисел(а=а1,а1..аn)1)умнож вект на число lа=(lа1,lа2..lаn) 2)слож вект а+в=(а1+в1…аn+аb)

Геометрические вект.W2-множ.геом.вект.на плоскости.Множ геом вект на плоск и в простр(W2)являются вект пространством

 

Линейная зависимость и независимость векторов.Базис

Пусть R – векторное пространство. Векторы a1,a2,...,an-назыв линейно зависимыми ,если сущ такой ненулевой набор λ1,λ2..λn,что линейная комбинация этих веторов=0

а1,а2..аn-назывется линейно независимой,если для любого ненул набора линейная комбинация не равна 0(еслм можно пдставить коэф не равный0)

Пусть имеется n векторов.

Составим линейную комбинацию:

, если система n векторов – линейно-зависима.

Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов

является линейно-зависимой.

Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов

будет тоже линейно-независимой.

Вектора а1,а2…аn линейно зависимы тогда и только тогда,когда один из этих векторов является линейной комбинацией оставшихся

Базис вект пространства V называется максимальный набор линейно независимых векторов.Число вект в базисе назыв размерностью векторного простр.Теорема: Каждый вектор x векторного пространства можно представить, и притом единственным образом как линейную комбинацию векторов базиса.Д-во: Пусть система n векторовлинейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогдачисло n называют размерностью пространства. dimV=nСистема этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейногопространства. Рассмотрим систему n+1 векторов. Такое представление называется разложение по базису, а числа называют координатами вектора.Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.

Скалярное произведение.Длина вектора.Геометрическая интерпритация в случае двух и трех измерений

Скалярное произведение двух ненулевых векторов называется число =произведению длин этих векторов на cos ф угла между ними Свойства: 1. 2. 3. 4. Длина вектора:Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня и скалярного квадрата. |а|=(корень из)а2х2у2z4.Матрицы.Линейные операции над матрицами.Умножение матрицМатрицей А размера m*n называется прямоуг таблица из m строк и n столбцов,сост из чисел или иных математических выраж. аij(назыв эл-ми матрицы)i=1,2..m.j=1,2..nМатрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю,называется диагональной.Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1,называется единичной. Обозначается буквой Е.Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю,называется треугольной.Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.Линейные операции над матрицами:1)сложение матриц(должны иметь один и тот же размер):а)А+В=В+А(коммутативность)б)(А+В)+С=А+(В+С)(ассоцитивость)в)А+0=А 2)умножение на число:а) 1. αA = Aα ,2. 1⋅ A = A,3. 0⋅ A = О,4. α(β Α) = (α β )Α,5. (α + β )Α =α Α + β Α-дистр относит слож чисел , 6. α (Α + Β) =α Α +α Β-дистр относит слож матриц3)умножение матрицУмножение матриц-операция вычисления матрицы С,эл-ты которой равны сумме про-й эл-ов в соотв строке первого множ и столбце второго.Св-ва: ассоциативность,про-е не коммутативно,про-е комм в случ умнож с единичн матрицей,дистрибут закон,(lА)В=l(АВ)=А(lВ)1.A(BC) = (AB)C, 2. α (AB) = (α A)B 3. (A + B)C = AC + BC 4. C(A+B) = CA + CB 6.Определитель n-ого порядка.Свойства определителейОпределителем матрицы является многочлен от элементов квадратной матрицы.Определитель n-ого порядка-произведение n эл-ов матр А,взятых поодному из каждой строки и каждого столбца называют членом определителя матрицы А.1. 2. 3. Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят ктреугольному виду и считают произведение элементов на главной диагонали.Св-ва:1.Если у опред какая-либо строка(столбец)сост только из нулей,то det=0 2.Если какие-либо 2 строки(2 стол)det пропорц то det=0 3.Если какую-либо строку det умножить на произвольн число то весь det умнож на это число 4.Если две строки det поменять местами то дет изменит знак 5.Если к какой-либо строке дет прибавить какую-либо др строку умнож на произвольн число то дет не изменится 6.Опред-ь произведения матриц=равен про-ю их дет 7.Обратная матрица.(Определение,условие существования,обратные матрицы для матриц специального вида)Обратная матрица к квадратной матрице А называется такая матрица А-1,при умножении на которую исходная матрица дает в результате единичную матрицу Е, т.е. удовлетворяет отношению А-1А=АА-1=Е.Если матрица А-1 существует,то она единственна. Квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной), если ее определитель |A| отличен от нуля, и вырожденной, если |A|=0.1. 2. 3. Условие существования обратной матрицы:Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную,необход чтобы она была невырожд(т.е.det не=0),то А-1=1/detA*A~~=(Аij)Т-метод присоед матр 8.Система линейных уравнений.Матричная форма записи систем линейных уравнений.Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.СЛАУ назыв запись вида: а11х112х2+…+аmхn1Решить слау значит найти упорядоченный набор чисел (х1,х2,..хn) при подстановке которых в уравнение последнее обращается в верные числовые равенства.Система называется совместной,если она имеет хотя бы одно решение,в др случае она называется несовместной. Совместная сист назыв определенной, если она имеет ровно одно решение,в противном случае она назыв неопределенной(т.е.имеет больше 1 реш)АХ=В-матр форма записи.Решить это уравнение значит найти матрицу Х при подстановке кот в ур-е получим верное матричное равенство.Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затемступенчато решить. Формула Крамера. Подсчитать определитель матрицы А.Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x1. То же самое проделать со2-ым и 3-им столбцом. 9.Равносильность систем линейных уравнений.Расширенная матрица системы.Элементарные преобразования.Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы. Две произвольные несовместные системы считаются эквивалентными(А~В)Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда,когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.r(A)=r(A|B) Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из которыхсоставлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисныйминор, называются главными и остаются слева, а остальные называютсясвободными и переносятся в правую часть уравнения. Найдя главные черезсвободные, получим общее решение системы.Элементарные преобразования:1)перестановка местами двух параллельных рядов матрицы 2)умнож всех эл-ов ряда матрицы на число,отличное от нуля 3)прибавление ко всем эл-ам ряда матрицы соотв эл-ов парал ряда,умнож на одно и то же число 11.Решение систем линейных алгебраических уравнений с канонической расширенной матрицей.При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц а все остальные элементы равны нулю.Такую матрицу называют канонической.Каноническая матрица-расширенная матрица,вид которой

 

Х(альфа)=(х1,…,хn)

X(бета)=(xr+1,….,xn)

Из следования системы *

1)b’’не=0 решения нет-система несовместна

2)b’’=0, r=n

X(альфа)=x =b’

3)b’’=0; n>r

X(альфа)=b’ – CX(бетта) -система неопределенна

X(бетта)-свободная

X(альфа)-базис

 

12.Ранг матрицы.Равносильность различных определений.Ранги расширенных матриц для совместных и неопределённых систем.Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Ранг матрицы обозначается r(A). Ранг матрицы равен нулю только у нулевой матрицы.Если число перм больше чем число ур-ий,то матр неопределенная. Максимальное число лин незав строк,назыв строчным рангом матр А. Макс число лин незав столбцов назыв столбцовым рангом матр А. Наиб порядок под матр,определ которой отличен от нуля назыв базисным рангом матрицы А. Строчный,столбцовый и базисный ранги матр равны между собой.Это общ число и назыв рангом матрицы 13.Линейный оператор.Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Если в базисе линейный оператор имеет матрицу А, а в базисе ( ) оператор имеет матрицу В λ – произвольное число ≠0Е – единичная матрица Если характеристически многочлен линейного оператора прировнять к 0, получим характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные векторы линейного оператораНенулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора, если оператор к , получим этот же ,умноженный на некоторое к. к – собственное число оператора А= Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число. Для каждого собств значения l0 соотв соств вект могут быть найдены из матричного уравнения(А-l0Е)х=0 или соотв ему сист лин ур-ий: 15.Прямая на плоскости.(Различные виды уравнений прямой,угол между прямыми)Уравнение с угловым коэффициентом.y=kx+b! k= tg α – угловой коэффициент. Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид y=kx Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох. y=b Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид и пройдет параллельно оси оу.Общее уравнение прямой. Ax+Dy+C=0A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.Если В=0, то уравнение имеет вид Ax+C=0 или . Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом .· Если А=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси ох.· Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении.т М (х00).Уравнение прямой записывается в виде y=kx+b.Подставим в это уравнение точку М Решим систему: Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данномувектору. Нормальное уравнение прямой.Уравнение прямой можно записать в виде: Т.к. ; , то: x=k1y+b1x-x0/ax=y-y0/ay Угол между прямыми.Дано: прямые L1 и L2 с угловыми коэффициентами Требуется найти угол между прямыми: 16.Взаимное расположение прямых и исследование системы двух уравнений с двумя неизвестными

Коллинеарные прямые

 

Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают.

 

Получим условие коллинеарности двух прямых и , заданных общими уравнениями:

 


Необходимым и достаточным условием коллинеарности прямых (3.19) является условие коллинеарности их нормалей и . Следовательно, если прямые (3.19) коллинеарны, то , т.е. существует такое число , что и наоборот.

Прямые совпадают, если помимо этих условий справедливо . Тогда первое уравнение в (3.19) имеет вид , т.е. равносильно второму, поскольку .

 

Таким образом, прямые (3.19) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число , что , но . Прямые (3.19) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:

 

 

Условие коллинеарности двух прямых (3.19) можно записать в виде

 

 

Пересекающиеся прямые

 

Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых (3.19) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:

 

или


При этом условии система уравнений имеет единственное решение , которое определяет точку пересечения прямых (3.19).

1.Углом между пересекающимися прямыми на плоскости, называется градусная мера наименьшего из углов, образованных при пересечении этих прямых. Угол между совпадающими или параллельными прямыми считается равным нулю.
Угол α между двумя прямыми, заданными уравнениями: y=k1x+b1 (первая прямая) и y=k2x+b2 (вторая прямая), может быть вычислен по формуле (угол отсчитывается от 1й прямой ко 2й против часовой стрелки):
tg(α)=(k2-k1)/(1+k1k2)

 

-прямые скрещивающиеся,т.е.не лежат в одной плоскости-прямые пересекающиеся,т.е.лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку-прямые параллельны,т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаютс-прямые совпадают 17.Плоскость в пространстве(Различные виды уравнений плоскости,угол между плоскостями)Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данномувектору.Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором ,перпендикулярной этой плоскости.Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор При любом расположении точки М на плоскости Q , поэтому . Общее уравнение плоскости. · Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)· Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.· Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz.Аналогично при A=D=0 и B=D=0.· Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.· Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy. Уравнение плоскости, проходящей через три точкиК (х11) М (х22) N (x3;y3)Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).Составим векторы: Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны: Уравнение плоскости в отрезках.Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки: ; ; Нормальное уравнение плоскости. Угол между плоскостями: cos j=А1А1+В1В2+С1С2/(корень)А121212*(корень)А222222 18.Прямая в пространстве и ее различные уравнения.Угол между прямыми и между прямой и плоскостью.Точка пересечения прямой и плоскости

Векторное уравнение прямой.

Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.

Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0;y0;z0) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z).Обозначим радиус-векторы точек M и M0 через r и r0.

Тогда уравнение прямой запишется в виде: где t – скалярный множитель (параметр).

Параметрические уравнения прямой.

Канонические уравнения прямой.

S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0(x0;y0;z0) – точка на прямой соединяет M0 с произвольной точкой М.

 

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:

Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то

направляющий вектор запишется как векторное произведение:

Угол между прямыми.

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьшая из величин углов, образованных лучами, на которые прямые делятся их точкой пересечения.Угол между двумя параллельными прямыми по определению равен нулю.Угол между двумя скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, проведенными через произвольную точку. Доказывается, что он не зависит от выбора этой точки.Угол между прямыми принимает значения от 0° до 90° (в градусной мере). Sin ф=|Ае+Bm+Cn|/(корень)А222*(корень)е2+m2+n2

 

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.