1. Составим уравнение грани ( ) тетраэдра. Для этого используем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
или
Вычислив определитель, имеем:
Аналогичным образом находятся уравнения остальных граней тетраэдра:
( ): ,
( ): ,
( ):
2. Составим уравнение плоскости, проходящей через вершину параллельно грани . Поскольку плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны. Уравнение искомой плоскости можно составить, как уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. В нашем случае , Имеем:
=0
или
3. Уравнение плоскости, проходящей через ребро параллельно ребру можно записать, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам. В качестве точки, принадлежащей плоскости, можно взять любую из точек или , а направляющими векторами плоскости будут векторы: . Уравнение искомой плоскости запишется так:
или
4. Выпишем уравнения всех граней тетраэдра:
( ):
( ):
( ):
( ):
Определим полупространство с границей , в котором лежит точка . Для этого найдем знак четырехчлена
в точке
Значит, полупространство, содержащее точку , а, следовательно, и точки, принадлежащие внутренней области тетраэдра, определяется неравенством
Аналогично определяем неравенства, задающие полупространства с границами , , , которые задают внутреннюю область тетраэдра:
Итак, система неравенств, задающая внутреннюю область тетраэдра , имеет вид:
5. Уравнение ребра находим как уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Канонические уравнения прямой запишутся так:
или
Уравнение ребра можно записать и в параметрическом виде:
6. Запишем теперь уравнения прямой, проходящей через точку параллельно ребру . Вектор является направляющим вектором искомой прямой, поскольку она параллельна ребру . Канонические уравнения прямой можно записать так:
7. Для отыскания объема тетраэдра применим формулу:
В нашей задаче
Вычисляя смешанное произведение:
получим:
8. Для отыскания длины высоты тетраэдра к точке и плоскости ( ) применим формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. Имеем: ( ):
значит,
9. Площадь грани может быть найдена по формуле
где
Вычисляя векторное произведение векторов и
и его длину
получим:
10. Величину угла можно найти, используя формулу
У нас а длины этих векторов соответственно равны
, = 2
Поэтому
11. За величину двугранного угла при ребре можно принять величину угла между нормальными векторами граней тетраэдра, примыкающих к этому ребру. Это грани и . Пусть ( ), ( ). Из уравнений плоскостей следует, что Обозначим величину искомого угла через , имеем
И, значит,
12. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно ребру . В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять вектор . Так как то уравнение искомой плоскости запишется так:
или
13. Высота тетраэдра, проходящая через точку , имеет в качестве направляющего вектора нормальный вектор плоскости ( ). Поэтому канонические уравнения высоты запишутся в виде:
14. Основанием высоты, опущенной из вершины , является точка пересечения прямой, содержащей эту высоту, и плоскости грани ( ). Для отыскания координат этой точки решим систему
Если от канонических уравнений прямой перейти к параметрическим, то система примет вид:
Подставив из уравнений прямой в уравнение плоскости и решив полученное уравнение, находим значение параметра , отвечающее точке пересечения.
или
Подставив теперь найденное значение в уравнения прямой, находим координаты точки :
Итак,
15. Точка , симметричная точке относительно плоскости , расположена на перпендикуляре к плоскости ( ), причем отрезок делится в точке пересечения перпендикуляра с плоскостью пополам. Зная координаты точек и , найдем координаты точки :
Так как ( ), то
и, значит,
Сделаем чертеж.
ЛИТЕРАТУРА
1.Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. М.: Просвещение, 1986. 336 с.
2. Атанасян Л.С.; Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч. 2. М.: Просвещение, 1973, 256 с.
3. Атанасян Л. С. и др. Сборник задач по геометрии. Ч. 2. М.: Просвещение, 1975. 176 с.
4. Погорелов А. В. Геометрия 6-10. М.: Просвещение, 1986. 288 с.
5. Аргунов Б.И., Демидова И.Н., Литвиненко В. Н. Задачник-практикум по геометрии. Ч.I. M.: Просвещение, 1979. 128 с.
6. Аргунов Б. И., Балк М.Б. Элементарная геометрия, М.: Просвещение, 1966. 368 с.
7. Киселев А. П. Элементарная геометрия: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1980. 287 с.