Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Образец выполнения индивидуальной работы



Пусть ( ),

Задача 1.

1. Составим уравнение грани ( ) тетраэдра. Для этого используем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

или

Вычислив определитель, имеем:

Аналогичным образом находятся уравнения остальных граней тетраэдра:

( ): ,

( ): ,

( ):

2. Составим уравнение плоскости, проходящей через вершину параллельно грани . Поскольку плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны. Уравнение искомой плоскости можно составить, как уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. В нашем случае , Имеем:

=0

или

3. Уравнение плоскости, проходящей через ребро параллельно ребру можно записать, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам. В качестве точки, принадлежащей плоскости, можно взять любую из точек или , а направляющими векторами плоскости будут векторы: . Уравнение искомой плоскости запишется так:

или

4. Выпишем уравнения всех граней тетраэдра:

( ):

( ):

( ):

( ):

Определим полупространство с границей , в котором лежит точка . Для этого найдем знак четырехчлена

в точке

Значит, полупространство, содержащее точку , а, следовательно, и точки, принадлежащие внутренней области тетраэдра, определяется неравенством

Аналогично определяем неравенства, задающие полупространства с границами , , , которые задают внутреннюю область тетраэдра:

Итак, система неравенств, задающая внутреннюю область тетраэдра , имеет вид:

5. Уравнение ребра находим как уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Канонические уравнения прямой запишутся так:

или

Уравнение ребра можно записать и в параметрическом виде:

6. Запишем теперь уравнения прямой, проходящей через точку параллельно ребру . Вектор является направляющим вектором искомой прямой, поскольку она параллельна ребру . Канонические уравнения прямой можно записать так:

7. Для отыскания объема тетраэдра применим формулу:

В нашей задаче

Вычисляя смешанное произведение:

получим:

8. Для отыскания длины высоты тетраэдра к точке и плоскости ( ) применим формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. Имеем: ( ):

значит,

9. Площадь грани может быть найдена по формуле

где

Вычисляя векторное произведение векторов и

и его длину

получим:

10. Величину угла можно найти, используя формулу

У нас а длины этих векторов соответственно равны

, = 2

Поэтому

11. За величину двугранного угла при ребре можно принять величину угла между нормальными векторами граней тетраэдра, примыкающих к этому ребру. Это грани и . Пусть ( ), ( ). Из уравнений плоскостей следует, что Обозначим величину искомого угла через , имеем

И, значит,

12. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно ребру . В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять вектор . Так как то уравнение искомой плоскости запишется так:

или

13. Высота тетраэдра, проходящая через точку , имеет в качестве направляющего вектора нормальный вектор плоскости ( ). Поэтому канонические уравнения высоты запишутся в виде:

14. Основанием высоты, опущенной из вершины , является точка пересечения прямой, содержащей эту высоту, и плоскости грани ( ). Для отыскания координат этой точки решим систему

Если от канонических уравнений прямой перейти к параметрическим, то система примет вид:

Подставив из уравнений прямой в уравнение плоскости и решив полученное уравнение, находим значение параметра , отвечающее точке пересечения.

или

Подставив теперь найденное значение в уравнения прямой, находим координаты точки :

Итак,

15. Точка , симметричная точке относительно плоскости , расположена на перпендикуляре к плоскости ( ), причем отрезок делится в точке пересечения перпендикуляра с плоскостью пополам. Зная координаты точек и , найдем координаты точки :

Так как ( ), то

и, значит,

Сделаем чертеж.

ЛИТЕРАТУРА

1.Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. М.: Просвещение, 1986. 336 с.

2. Атанасян Л.С.; Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч. 2. М.: Просвещение, 1973, 256 с.

3. Атанасян Л. С. и др. Сборник задач по геометрии. Ч. 2. М.: Просвещение, 1975. 176 с.

4. Погорелов А. В. Геометрия 6-10. М.: Просвещение, 1986. 288 с.

5. Аргунов Б.И., Демидова И.Н., Литвиненко В. Н. Задачник-практикум по геометрии. Ч.I. M.: Просвещение, 1979. 128 с.

6. Аргунов Б. И., Балк М.Б. Элементарная геометрия, М.: Просвещение, 1966. 368 с.

7. Киселев А. П. Элементарная геометрия: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1980. 287 с.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.