4. – предел произведения равен произведению пределов;
5. , если – предел частного равен частному пределов.
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям. Например, зная лишь, что нельзя сказать заранее, чему равен Говорят, что имеет место неопределенность вида Вообще могут быть неопределенности: .
1) сокращение на множитель, создающий неопределенность;
2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при x®¥);
3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;
4) использование двух замечательных пределов:
первый замечательный предел ,
второй замечательный предел или .
Задание для студентов.
Выбор параметров т и п.
Для того, чтобы получить свои личные числовые данные, необходимо взять две последние цифры зачетной книжки (студенческого билета) (А – предпоследняя цифра, В – последняя цифра) и выбрать из таблицы 1 параметр m, а из таблицы 2 выбрать параметр n.
Таблица 1 (выбор параметра m)
А
т
Таблица 2 (выбор параметраn)
В
п
1. Найти пределы:
а)
б)
в)
г)
д)
2. Найти заданные пределы:
а) ;
б) ;
в) ;
г)
Примеры решения задач:
Пусть m=6, n=7, получаем:
а)
Решение:Здесь мы имеем неопределенность вида , поэтому разделим и числитель и знаменатель дроби на наибольшую степень входящего х.
б) ;
Решение:Имеем неопределенность вида , поэтому разложим числитель и знаменатель дроби на множители.
в)
Решение:При вычислении данного предела используется первый замечательный предел .
г)
Решение:Здесь мы имеем неопределенность вида , разложим и числитель и знаменатель на множители.
д)
Решение:При вычислении данного предела используется формула второго замечательного предела: