Уравнения вращения в векторном виде

Возникает вопрос: можно ли с помощью векторного произ­ведения записать какое-нибудь уравнение физики? Да, конеч­но, с его помощью записываются очень многие уравнения. Сра­зу же видно, например, что момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу

t=rXF. (20.11)

Это просто краткая запись трех уравнений: т_x=yF_z-zF_y и т. д. С помощью того же символа можно представить момент количества движения одной частицы в виде векторного произ­ведения вектора расстояния от начала координат (радиус-вектора) на вектор импульса

L=rXp.(20.12)

Векторная форма динамического закона вращения в трехмер­ном пространстве напоминает уравнение Ньютона F=dp/dt; именно вектор момента силы равен скорости изменения со вре­менем вектора момента количества движения

t=dL/dt. (20.13)

Если мы сложим (20.13) для многих частиц, то получим, что внешний момент сил, действующий на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения

Еще одна теорема: если полный момент внешних сил равен нулю, то вектор полного момента количества движения системы остается постоянным. Эта теорема называется законом сохране­ния момента количества движения. Если на данную систему не действуют никакие моменты сил, то ее момент количества дви­жения не изменяется.

А что можно сказать об угловой скорости? Вектор ли она? Мы уже рассматривали вращение твердого тела вокруг неко­торой фиксированной оси, а теперь давайте на минуту предпо­ложим, что оно одновременно вращается вокруг двух осей. Тело может находиться, например, в коробке и вращаться там вокруг некоторой оси, а сама коробка в свою очередь вращается вокруг какой-то другой оси. Результатом же такого сложного движения будет вращение тела вокруг некоторой новой оси. Самое удивительное здесь то, что эта новая ось может быть най­дена следующим образом. Если вращение в плоскости ху пред­ставить как вектор, направленный вдоль оси z, длина которого равна скорости вращения, а в виде другого вектора, направ­ленного вдоль оси y, изобразить скорость вращения в плоско­сти, то, сложив их по правилу параллелограмма, получим ре­зультат, величина которого говорит о скорости вращения тела, а направление определяет плоскость вращения. Попросту го­воря, угловая скорость в самом деле есть вектор, для которого скорость вращения в трех плоскостях представляет прямоуголь­ные проекции на эти плоскости.

В качестве простого примера с использованием вектора угло­вой скорости подсчитаем мощность, затрачиваемую моментом сил, действующим на твердое тело. Так как мощность — это скорость изменения работы со временем, то в трехмерном пространстве она оказывается равной Р=t•w.

Все формулы, которые мы писали для плоского вращения, могут быть обобщены на три измерения. Если взять, например, твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси с угловой скоростью w, то можно спросить: «Чему равна скорость точки с радиус-вектором r?» В качестве упражнения попытайтесь доказать, что скорость частицы твердого тела задается выражением v=wXr, где w — угловая скорость, а r — положение частицы. Другим примером векторного произведения служит формула для кориолисовой силы, которую можно записать как F_K=2mvXw. Иначе говоря, если в системе координат, вращаю­щейся со скоростью w, частица движется со скоростью v и ми все хотим описать через величины этой вращающейся системы, то необходимо добавлять еще псевдосилу f_k.

Гироскоп

Вернемся теперь снова к закону сохранения момента коли­чества движения. Его можно продемонстрировать с помощью бы­стро вращающегося колеса, или гироскопа (фиг. 20.1).

Фиг. 20.1. Быстро вращающийся гироскоп.

а — ось направлена горизонтально, момент количества движения относитель­но вертикальной оси равен пулю; б — ось направлена вертикально, момент количества движения относительно вер­тикальной оси должен остаться равным нулю; человек и стул крутятся в направлении, противоположном вращению колеса.

Если стать на крутящийся стул и держать вращающееся колесо в го­ризонтальном положении, то его момент количества движения будет направлен горизонтально. Момент количества движения относительно вертикальной оси нельзя изменить из-за фикси­рованного направления оси стула (трением пренебрегаем). Если теперь повернуть ось с колесом вертикально, то колесо приобретет момент количества движения относительно верти­кальной оси. Однако система в целом (колесо, вы сами и стул) не может иметь вертикальной компоненты, поэтому вы вместе со стулом должны крутиться в направлении, обратном враще­нию колеса, чтобы скомпенсировать его.

Прежде всего давайте более подробно проанализируем явле­ние, которое мы только что описали. Самое удивительное, в чем нам следует разобраться, это откуда берутся силы, раскручива­ющие нас вместе со стулом, когда мы поворачиваем ось гиро­скопа вертикально. На фиг. 20.2 показано колесо, быстро вра­щающееся вокруг оси у, т. е. его угловая скорость направлена по этой оси.

Фиг. 20.2. Гироскоп.

В ту же сторону направлен и момент количества движения. Предположим теперь, что мы хотим вращать колесо относительно оси х с малой угловой скоростью W; какая сила для этого требуется? Через малый промежуток времени Dt ось займет новое положение, отклонившись от горизонтального положения на угол Dq. Поскольку основная часть момента ко­личества движения происходит от вращения колеса (медленное вращение вокруг оси х дает очень малый вклад), мы видим, что вектор момента количества движения изменяется. Каково же изменение этого вектора? Он остается тем же самым по величине, однако направление его меняется на угол Dq. Величина вектора DL поэтому равна DL=L₀Dq; в результате возникает момент силы, равный скорости изменения момента количества движе­ния t=DL/Dt=L₀(Dq/Dt)=L₀W. Учитывая направление раз­личных величин, мы видим, что

t=WXL₀. (20.15)

Таким образом, если W и l₀ направлены горизонтально, как это показано на фигуре, то t направлен вертикально. Чтобы уравновесить такой момент, к концам оси в горизонтальном направлении должны быть приложены силы F и -F. Откуда берутся эти силы, кто их прикладывает? Да мы сами, собст­венными руками, когда стараемся повернуть ось колеса в вер­тикальное положение. Но Третий закон Ньютона требует, что­бы равные и противоположно направленные силы (и равный, но противоположно направленный момент) действовали на нас. Они и заставляют нас крутиться вокруг вертикальной оси z в противоположном направлении.

Этот результат можно обобщить на быстро вращающийся волчок. В обычном вращающемся волчке сила тяжести, дейст­вующая на его центр масс (ц.м.), создает момент относительно точки соприкосновения волчка с полом (фиг. 20.3).

Фиг. 20.3. Быстро вращающийся волчок.

Заметьте, что направление вектора момента силы совпадает с направле­нием прецессии.

Этот момент действует в горизонтальном направлении и заставляет волчок прецессировать, т. е. ось его будет описывать круговой конус вокруг вертикальной оси. Если W — угловая скорость прецес­сии (направленная вертикально), то мы снова находим

Таким образом, если к быстро вращающемуся волчку прило­жить момент сил, то возникнет прецессия в направлении этого момента, т. е. под прямым углом к силам, создающим момент.

Итак, теперь мы можем утверждать, что поняли прецессию гироскопа, и математически мы действительно поняли ее. Однако вся эта математика может показаться нам в каком-то смысле «колдовством». Между прочим, по мере углубления во все более сложную физику многие простые вещи легче вывести математически, чем действительно понять их фундаментальный или простой смысл. По мере того как вы будете переходить ко все более и более современным работам по физике, то обнару­жите одно странное обстоятельство: математика дает резуль­таты, которые никто не может понять непосредственно. В ка­честве примера можно взять уравнение Дирака, которое полу­чается очень просто и красиво, но понять его следствия труд­новато. В нашем частном случае прецессия волчка кажется чудом, каким-то тайнодействием с прямыми углами, окруж­ностями, крутящимися силами и правовинтовыми болта­ми. Но давайте все-таки попытаемся понять ее физическую сущность.

Как можно объяснить этот момент сил с помощью реально действующих сил и ускорений? Заметьте, что, когда колесо прецессирует, частицы колеса в действительности не движутся уже в одной плоскости (фиг. 20.4).

Фиг. 20.4. Движение частицы вращающегося колеса, показанного на фиг. 20.2,

При повороте оси эти частицы движутся по кривой линии.

Мы показали ранее (см. фиг. 19.4), что частица, которая пересекает ось прецес­сии, движется по кривому пути. Но для этого требуется какая-то боковая сила, которая возникает благодаря производимому нами давлению на ось колеса. Это давление по спицам переда­ется частицам обода. «Постойте,— скажете вы,— а как относи­тельно частиц на другой стороне колеса, которые движутся в об­ратном направлении?» Нетрудно догадаться, что действующие на них силы должны быть направлены в противоположную сто­рону, поэтому полная сила должна быть равна нулю. Таким образом, силы уравновешиваются, но одна из них приложена на одной стороне колеса, а другая — на другой. Эти силы мож­но было бы приложить непосредственно к колесу, однако из-за того, что колесо твердое, их можно приложить к оси, а через спицы они передаются на колесо.

До сих пор мы доказали, что, если колесо прецессирует, оно может скомпенсировать моменты сил, вызванные силой притя­жения или какой-то другой причиной. Однако мы только пока­зали, что прецессия есть одно из возможных решений уравне­ния. Другими словами, только при том условии, что действует момент и колесо запущено правильно, мы получим чистую пре­цессию. Но мы не доказали (и это вообще неверно), что чистая прецессия — наиболее общее движение вращающегося тела под действием момента сил. Общее движение включает, кроме того, какие-то колебания и отклонения от главной прецессии. Эти колебания называются нутацией.

Кое-кто любит говорить, что когда на гироскоп действует момент, то он поворачивается и прецессирует, что момент сил приводит к прецессии. Кажется очень странным, что, будучи запущенным, гироскоп не падает под действием силы тяжести, а движется вбок! Как это может случиться, что направленная вниз сила тяжести, которую мы хорошо знаем и чувствуем, заставляет его двигаться вбок? Ни одна из формул в мире, по­добная (20.15), не скажет нам этого, потому что формула (20.15)— это особый случай, верный только тогда, когда прецессия гиро­скопа уже установилась. Если же говорить о деталях, то в действительности происходит следующее. Когда мы держим ги­роскоп за ось, так что он никак не может прецессировать (но сохраняет свое вращение), то на него не действуют никакие мо­менты сил, даже момент силы тяжести, поскольку своими паль­цами мы компенсируем его. Но стоит только освободить ось, как в тот же момент на нее подействует момент силы тяжести. По простоте душевной каждый решит, что конец оси должен при этом падать, и он действительно начинает падать. Это мож­но просто видеть, если гироскоп вращается не слишком быстро.

Итак, как и ожидается, конец оси гироскопа действительно начинает падать. Но поскольку он падает, то, стало быть, он вращается и тем самым создает момент сил. Это сообщает оси гироскопа движение вокруг вертикальной оси такое же, как и при постоянной прецессии. Однако вскоре скорость начинает превышать скорость при постоянной прецессии, поэтому ось начинает подниматься вверх до прежнего уровня. В результате конец оси описывает циклоиду (кривую, которую описывает камень, застрявший в шине автомобиля). Обычно это очень быстрое, незаметное для глаз движение, к тому же оно скоро затухает благодаря трению в подшипниках, а выживает только «чистая» прецессия (фиг. 20.5).

Фиг.20.5. Истинное движение конца оси гироскопа под дейст­вием силы тяжести тотчас же после его освобождения.

Однако чем медленнее крутится колесо, тем нутация более заметна.

После того как движение устанавливается, ось гироскопа оказывается несколько ниже, чем она была вначале. Почему? (Это более сложная деталь, и мы упоминаем о ней только для того, чтобы не оставлять у читателя впечатления, что гиро­скоп — это чудо. Он действительно удивительная штука, но все же не чудо.) Если мы держали ось абсолютно горизонтально, а затем внезапно отпустили ее, то с помощью уравнения прецес­сии мы можем установить, что ось начинает прецессировать, т. е. двигаться по кругу в горизонтальной плоскости. Но это невозможно! Хотя мы и не обращали на это внимания раньше, колесо обладает каким-то моментом инерции относительно прецессирующей оси, и если оно даже медленно вращается вокруг этой оси, то оно имеет слабый момент количества движения. Отчего это происходит? Ведь если опора идеальная (т. е. если нет никакого трения), то относительно вертикальной оси никакого момента сил не может возникнуть. Тогда каким же об­разом прецессия все же возникает, если нет никаких моментов? Ответ: движение по циклоиде конца оси стремится к среднему стационарному движению, которое эквивалентно движению центра катящегося колеса, т. е. он устанавливается несколько ниже горизонтали. По этой причине собственный угловой мо­мент гироскопа имеет небольшую вертикальную компоненту, которая в точности компенсирует момент количества движе­ния прецессии. Как видите, ось должна немного опуститься, немного поддаться силе тяжести, чтобы иметь возможность крутиться вокруг вертикальной оси. Так работает гироскоп,

Поиск по сайту: