Математичний опис та оцінювання випадкових похибок

Причини виникнення випадкових похибок

Випадкові похибки обумовлені як випадковим характером прояву фізичних процесів в засобах вимірювання, так і випадковими змінами умов вимірювань, що практично неможливо врахувати. Серед основних причин виникнення випадкових похибок можна виділити:

§ конструктивні та технологічні недосконалості вузлів та деталей приладів;

§ випадкові коливання зовнішніх впливних величин — температури, вологості повітря, атмосферного тиску, напруженості зовнішніх електричних та магнітних полів тощо;

§ нестабільність живлення електронних приладів;

§ суб'єктивні помилки оператора;

§ вібрації;

§ теплові шуми в електронних приладах;

§ просторова (неоднорідність) та часова нестабільність об'єкта вимірювання.

Основні властивості випадкових похибок

1. Імовірність виникнення великих випадкових похибок менша за імовірність появи малих.

2. Імовірність появи однакових за модулем, але протилежних за знаком випадкових похибок однакова.

Методи виявлення та зменшення випадкових похибок

Оскільки випадкова похибка змінюється під час проведення повторних вимірювань навіть за однакових умов, то це призводить до мінливості результатів вимірювань. Таким чином, випадкова похибка може бути виявлена на основі аналізу результатів повторних вимірювань, проведених за умов збіжності (за одних і тих же умов).

Непрогнозований характер мінливості випадкових похибок призводить до практичної неможливості коригування результатів вимірювань, тобто до внесення поправок на величину випадкової похибки, оскільки для конкретного результату її значення лишається невідомим. Тим не менше, часто існує необхідність зменшити випадкову похибку результату вимірювання, наприклад, якщо вона перевищує прийнятне значення. Для цього можуть бути використані такі методи:

1. Усунення причин виникнення випадкових похибок.

Наприклад, якщо відомо, що джерелом істотної випадкової похибки є випадкові коливання напруги в мережі живлення приладу, можна його живлення здійснювати через стабілізатор напруги. Зрозуміло, що усунення всіх ефектів, які призводять до появи випадкової похибки неможливе або через фізичні причини, або через економічні причини.

2. Математична обробка результатів повторних вимірювань, спрямована на зменшення випадкової похибки.

Усереднення результатів повторних вимірювань завдяки другій властивості випадкових похибок дозволяє зменшити випадкову похибку кінцевого результату вимірювання. В ідеалі, за нескінченно великої кількості вимірювань, усереднення дозволило б звести випадкову похибку до нуля, оскільки однакові за модулем, але протилежні за знаком випадкові похибки, які за другою властивістю зустрічаються однаково часто, при усередненні себе повністю б компенсували. На практиці, звичайно, через обмежену кількість результатів вимірювань повної компенсації добитися не вдається (слід зазначити, що і практичної потреби в цьому немає), однак все ж випадкова похибка середнього значення зменшується зі зростанням кількості результатів повторних спостережень.

Вибір методу зменшення випадкової похибки результату вимірювання залежить як від можливості впливу на ті чи інші джерела виникнення випадкових похибок, так і від економічних чинників, оскільки і заходи з усунення причин, і проведення повторних вимірювань вимагають додаткових затрат часу та ресурсів.

Математичний опис та оцінювання випадкових похибок

Найповніше випадкова похибка як випадкова величина може бути описана з допомогою закону розподілу. В термінах теорії ймовірності випадкова похибка — це відхилення похибки вимірювання від її математичного сподівання:

.

Тут — випадкова похибка вимірювання, — похибка вимірювання, — математичне сподівання похибки.

Таким чином, випадкова похибка є центрованою випадковою величиною — її математичне сподівання рівне нулю.

Встановлення закону розподілу випадкової похибки вимагає значних затрат часу та ресурсів, тому на практиці часто замість встановлення закону розподілу оцінюють певні її характеристики — середнє квадратичне відхилення (точкова характеристика) або довірчі границі (інтервальна характеристика). Вказані характеристики можуть бути оцінені за менших затрат в порівнянні із затратами на встановлення закону розподілу.

Статистично середнє квадратичне відхилення випадкової похибки результату вимірювання може бути наближено оцінено за результатами повторних вимірювань , одержаними в умовах збіжності, як

,

де — середнє значення результатів повторних вимірювань.

В даній формулі величина фактично є оцінкою випадкової похибки результату -го вимірювання.

Cереднє квадратичне відхилення використовується не лише як характеристика похибки, але і як проміжний параметр під час розрахунку довірчих границь випадкової похибки. Якщо випадкова похибка розподілена за нормальним законом розподілу, то довірчі границі похибки для довірчої ймовірності можуть бути оцінені за формулою

,

де — відповідний квантіль нормального розподілу, — надійна нестатистична оцінка середнього квадратичного відхилення випадкової похибки.

Квантіль нормального розподілу рівний 1,96 для =0,95 та 2,57 для =0,99.

Якщо замість середнього квадратичного відхилення випадкової похибки використовується його статистична оцінка , розрахована за числом результатів повторних вимірювань менше 30, то за нормального розподілу довірчі границі випадкової похибки оцінюють за формулою

,

де — значення коефіцієнту Ст'юдента для довірчої ймовірності та числа ступенів свободи .

Поиск по сайту: