Напряжения в поперечных сечениях вала

Крутящему моменту соответствуют касательные напряжения t, которые распределяются по линейному закону вдоль диаметра, рис. 4. Величина касательных напряжений в любой точке поперечного сечения может быть определена по формуле:

, (1)

гдеM_z – крутящий момент;

Рис. 4.

Для круглого сечения полярный момент инерции равен:

, (2)

где d – диаметр круглого сечения;

ρ – расстояние от центра круга (полюса) до точки, в которой определяется напряжение.

Для кольцевого сечения (рис. 6):

. (3)

Из формулы (1) следует, что касательное напряжение в центре сечения равно нулю, а максимальные по величине напряжения действуют в точках контура сечения (так называемые «опасные точки»), т. е. при . Величина этих напряжений может быть определена по формуле:

, (4)

где W_r – полярный момент сопротивления.

Рис. 5.	Рис. 6.

Для круглого сечения:

. (5)

Для кольцевого сечения:

, (6)

где D – внешний диаметр кольца; с – отношение диаметров: .

Направление касательного напряжения в каждой точке сечения перпендикулярно радиусу (рис. 5).

Выражение крутящего момента через напряжения:

, (7)

отражает его физический смысл: крутящий момент – есть момент результирующий пары внутренних касательных сил упругости, действующих в поперечном сечении вала.

Расчет на прочность

Прочность бруса, работающего на кручение, считается обеспеченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в его опасном сечении, не превышают величины допускаемого напряжения.

Для вала постоянного диаметра опасным является участок, в котором действует наибольший крутящий момент. Для вала, представленного на рис. 3, опасным является третий участок.

Для ступенчатого вала, опасным считают участок вала, в поперечных сечениях которого действуют наибольшие по величине касательные напряжения.

Условие прочности при кручении имеет вид:

, (8)

где t_max– максимальное напряжение в опасном сечении вала;

M_z – крутящий момент;

W_р – полярный момент сопротивления поперечного сечения вала;

[t] – допускаемое касательное напряжение; для пластичных материалов принимают равным [t] » (0,55 ¸ 0,60) [s].

Различают три вида расчетов на прочность: проверочный, проектный и определение допускаемой нагрузки.

Проверочный расчет

Осуществляется по условию (8). Расчет производится с целью оценки прочности вала под действием заданной нагрузки.

Порядок расчета

• Разбивают вал на участки.

• Определяют величину крутящих моментов в поперечных сечениях участков вала и строят их эпюру.

• Определяют полярные моменты сопротивления поперечных сечений вала по формулам (5) или (6) в зависимости от формы сечения.

• Определяют максимальные касательные напряжения в поперечных сечениях на каждом участке по формуле (4) и строях их эпюру.

• Делают вывод о прочности, согласно условию (8), то есть сравнивают величину наибольшего касательного напряжения t_max с величиной допускаемого напряжения [t]. Прочность вала обеспечивается, если максимальное касательное напряжение, возникающее в опасном сечении вала, не превышает величины допускаемого напряжения. Допускается перенапряжение в пределах 5%.

Проектный расчет

Осуществляется по условию:

(9)

где M_z = çM_zç_max , значение его берем из эпюры «M_z»;

[t] –допускаемое напряжение;

W_r– полярный момент сопротивления.

Порядок расчета

• Разбивают вал на участки.

• Определяют величину крутящих моментов в поперечных сечениях участков вала и строят их эпюру.

• Выясняют опасные участки вала, это участки, в поперечных сечениях которых действуют наибольшие по абсолютной величине крутящие моменты.

• Определяют требуемые моменты сопротивления поперечных сечений вала по формуле (9).

• Определяют диаметры поперечных сечений вала.

Для круглого сечения по формуле:

. (10)

Для кольцевого сечения:

, (11)

где D – наружный диаметр кольца;

;

d – внутренний диаметр кольца.

Полученное значение диаметра следует округлить до ближайшего большого четного числа или числа, оканчивающегося на 5.

Поиск по сайту: