Хвильовий вектор та ефект Доплера

Шлях, яким було введено 4-вектори, не єдиний. Зараз ми введемо 4-вектори іншим чином, а поряд з цим дамо пояс­нення важливого фізичного ефекту — оптичного ефекту До­плера.

Розглянемо деяку плоску хвилю . Просторово-часова за­лежність поля визначається експонентою

exp

За таким законом поширюються досить часто хвилі оптич­ного діапазону, радіохвилі, телевізійні сигнали. Мається на увазі, що вся залежність від часу та просторових змінних міститься в експоненті, а значення полів визначаються, якщо її домножити на постійний вектор ( або Н_о ).

Розглянемо умови, за яких значення полів є постійними. Очевидно, що поле має постійне значення тоді, коли фаза коливання kr —wtрівна константі. Розглянемо плоску хви­лю в деякий момент часу t₀. Умова постійності поля набуває вигляду

(1)

що є рівняння площини, перпендикулярної до вектора к. Тобто можемо уявити собі поширення такої хвилі наступним чи­ном. Постійне значення поля в деякий момент часу t₀ зосере­джене на площині (1). При збільшенні t константа в правій частині рівняння (1) збільшується і площина, на якій поле незмінне, «рухається» перпендикулярно до напряму вектора k з фазовою швидкістю w/k. Інше постійне значення поля знаходиться на паралельній площині й рухається аналогічним чином. Тому цю модель хвилі й називають плоскою. Фаза kr — wt є скаляр і тому не залежить від системи відліку, в якій її вимірювати. Вона є інваріант перетворення:

K y x′ x z′ z

Легко бачити, що вираз (2) є скалярний добуток двох 4-векторів, як його визначали раніше (5.37). Чо­тири множники х, у, z, —ct є коваріантними координатами 4-вектора, після множення на інші чотири множники к_х, к_у, k_z, и/с утворюється величина, що не залежить від системи відліку, отже маємо право назвати її хвильовим 4-векторомі позначити

(3)

Як і належить 4-вектору, при переході до рухомої системи координат він перетворюється згідно з (11). Нехай у системі К' є джерело (рухається разом з К' ) електромагнітної плос­кої хвилі. Нехай також компоненти хвильового 4-вектора в системі К дорівнюють

а в системі К' відповідно:

Оскільки квадрат 4-вектора є інваріант перетворення, то

Цей квадрат дорівнює нулеві, оскільки йдеться про поширен­ня світла зі швидкістю с, а тому інтервал — нульовий.

Нехай кут між віссю х та вектором k дорівнює (див. рис. 5.4). Відповідно між віссю х' та вектором к'— кут . Тоді хвильові 4-вектори в системах К та К' запишемо у вигляді

У цих виразах враховано, що хвильовий вектор відповідним поворотом системи координат можна розташувати в площині X0Y.

Червоний зсув

Нагадаємо, як у астрономії вимірю­ють відстані до зірок. Оскільки діаметр земної орбіти становить приблиз­но 300 млн. км, то вимірюючи кут між площиною земної орбіти та напрямом на зірку з інтервалом у півроку, може­мо з простого прямокутного трикут­ника визначити катет (відстань до зір­ки) за відомим кутом і другим кате­том¹.

Проте зазначеним способом можна виміряти лише

відстані не більші ніж

300 світлових років². Але ж відомо, що Всесвіт —весь ма­теріальний світ, що нас оточує, досяжний для спостережень — має набагато більші розміри, 10 млрд світлових років (вік Всесвіту — 10-20 млрд років). Самий термін «розмір Всесвіту» потребує уточнення (див. нижче).

Принципово інша можливість вимірювання відстаней з'я­вилась з 1929 р. Як виявилось, Всесвіт «розширюється», тоб­то Галактики «розбігаються» одна від одної. Цей факт був встановлений експериментально Хабблом (1929) за зміщен­ням положення спектральних ліній хімічних елементів у спек­трах далеких зірок. Якщо спрямувати спектральний при­лад на віддалену зірку, весь спектр як ціле буде зсунуто в бік більших довжин хвиль (у бік інфрачервоного діапазону). Причому величина цього зсуву тим більша, чим далі від нас знаходиться зірка. Оскільки «зсув» відбувається в бік збіль­шення довжин хвиль, то явище має назву червоний зсув. Якщо відстань до галактики позначити через R, а радіальну компоненту швидкості її віддалення dR/dt, то закон, вста­новлений Хабблом, матиме вигляд

, де

Величина Н називається сталою Хаббла. Вимірявши вели­чину зсуву в одиницях довжини хвилі, неважко перейти до частотного зсуву. Яка саме частота випромінюється, відомо з лабораторних експериментів, вимірюване значення часто­ти також відоме, тому згідно з (12§7) можливо обчислити швидкість «віддалення» зірки. А далі відповідно до форму­ли (1) знайти відстань до неї.

Експерименти, виконані Хабблом, дозволили зробити ви­бір між двома моделями Всесвіту, що були відомі на той час. У 1915 р. Ейнштейн остаточно сформулював рівняння загаль­ної теорії відносності. Практично відразу він знайшов розв'я­зок цих рівнянь, який існує лише при додатковому включені в рівняння так званої космологічної сталої, що визначаєть­ся середньою густиною речовини Всесвіту. Цей розв'язок те­пер називають стаціонарною моделлю Всесвіту. Згідно з цим розв'язком Всесвіт мав бути в середньому стаціонар­ний, незмінний з постійним значенням «розміру». У 1922 р. Фрідман отримав розв'язок тих самих рівнянь для випад­ку нульового значення космологічної сталої, який тепер на­зивають нестаціонарною моделлю Всесвіту. Відповідно до цього розв'язку близько 10-20 млрд років тому Всесвіт утво­рився з надзвичайно малого об'єму завдяки початковому ви­буху і в наш час процес розширення продовжується. Через багато мільярдів років він зміниться на зворотний. Експе­риментальні дослідження Хаббла дозволили визначити кос­мологічну сталу. За сучасними космологічними даними вона або нульова, або надзвичайно мала (менша за 10~⁵¹см~²). От­же, дослідження Хаббла підтвердили модель нестаціонарного Всесвіту.

Щодо поняття «розмір Всесвіту» слід зробити декілька ко­ментарів. Одразу ж звернемо увагу на те, що йдеться про настільки незвичні для нас масштаби, що не маємо ніяких під­став переносити наші повсякденні уявлення на цей діапазон (як не маємо права переносити результати макроскопічних спостережень на певні явища мікросвіту). Зокрема, як вия­вилось, наші уявлення про однорідний, ізотропний простір справедливі лише в межах звичних для нас відстаней та об'є­мів. Постулати про паралельні прямі, суму кутів трикутника, евклідову геометрію тощо, треба сприймати як моделі, що до­бре працюють, для відносно малих просторових об'ємів, як кажуть, локально евклідові. А для розмірів, набагато біль­ших за звичні, треба дещо змінювати свої уявлення. Вияв­ляється, простір Всесвіту «кривий», якщо мати на увазі до­сить великі відстані. Можна навіть обчислити кривизну на­шого трьохвимірного простору, як це свого часу зробив Ріман — побудував функцію, яка є кривизною трьохвимірно­го простору. Звичайно, зрозуміти, що трьохвимірний простір кривий, досить важко. Ми добре розуміємо, що деяка поверх­ня може бути кривою і розуміємо, що таке радіус кривизни цієї поверхні. Виявляється, що кривою може бути не лише поверхня, але й простір. Це знаходить своє відображення в тому, що в кривому просторі сума кутів трикутника не дорів­нює 180°. Правда, для того, щоб це виявити, треба брати до­сить великий трикутник¹.

Яке поняття у нас з вами асоціюється з прямою лінією? Найкраще, напевно, світловий промінь. Та якщо спрямува­ти промінь у деякому напряму і почекати досить довго (10 млрд років), то він до нас повернеться, але з іншого боку, бо його поширення відбувається прямолінійно (за нашими уяв­леннями) лише для відносно малих об'ємів (для них якраз і можемо вважати геометрію локально евклідовою).

Коли намагаються пояснити ці поняття, то вдаються до такого прикладу. Уявімо собі сферу досить великих розмірів і нехай на поверхні цієї сфери мешкають двовимірні істоти — вони розуміють тільки координатні осі (а ми відповідно ли­ше три). Що таке третя координатна вісь, вони не розуміють. Якщо на своїй сфері вони малюють невеличкий трикутник, то сума кутів такого трикутника дорівнює 180° — їх геометрія локально евклідова. Але якщо вони намалюють досить вели­кий трикутник (розміри сторін порівняно з радіусом сфери), то сума кутів такого трикутника виявиться більшою за 180°. їм важко зрозуміти в чому справа, промінь який вони ви­промінюють у одному напрямку повертається до них з іншого боку (нехай у них і світло також не буде мати третьої координати). Проте нам з вами все очевидно — їх світ кри­вий, оскільки сфера має скінчений радіус. Щоправда, цю аналогію не варто механічно переносити на трьохвимірний простір, але є над чим подумати.

Наведений приклад допомагає якось пережити (але не зро­зуміти), чому наш Всесвіт має скінченні розміри, але до межі його дійти неможливо.

Поиск по сайту: