Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Функції Лагранжа та Гамільтона в СТВ



Якщо 4-швидкість вже визначено, то 4-імпульс треба виз­начати як

(1)

Так його й визначають, але визначення імпульсу згідно з (1) суперечить означенню функції Лагранжа , яким ми користувались у класичній механіці. Справді, для вільної матеріальної точки функція Лагранжа має вигляд :

Кожна компонента узагальненого імпульсу обчислюється згід­но з означенням як .Якщо обчислити, наприклад, компоненту рх за цією формулою, то одержимо рх = mvx, що не збігається з (1), Причина в тому, що слід перевизначити функцію Лагранжа.

Механіку релятивістських частинок зручно будувати, ви­ходячи з принципу найменшої дії, добре відомого з класич­ної (нерелятивістської) механіки: реалізується такий рух, для якого інтеграл дії S набуває мінімального зна­чення.

Визначимо дію S для вільної матеріальної частинки. Оче­видно, що значення дії не повинно залежати від вибору си­стеми координат, тобто має бути лоренц-інваріантним. Однак для вільної частинки єдиним можливим інваріантом є інтер­вал. Отже

де враховано зв'язок (1), (3) між власним часом d та інтервалом ds. Таким чином,

a— деяка, поки не визначена, стала. Як відомо, дія S пов'язана з функцією Лагранжа співвідношенням Тому функція Лагранжа вільної частинки має вигляд:

Для визначення сталої а скористаємось граничним нерелятивістським випадком, v/c > 0:

Перший доданок є сталим, тобто не впливає на рух і може бути відкинутим. Другий має переходити на класичний ви­раз (2), звідки a = —me2. Враховуючи також можливі по­тенціальні взаємодії, запишемо остаточно функцію Лагранжа релятивістської частинки маси m, що рухається із швидкістю v у потенціалі U:

Зроблене означення зобов'язує нас перевизначити відповід­ним чином енергію частинки та функцію Гамільтона, оскіль­ки ці величини з функцією Лагранжа нерозривно пов'язані. Справді, енергія матеріальної точки є:

При обчисленні було враховано, що просторові компоненти 4-імпульсу дорівнюють р = mv. Крім того, при малих швид­костях цей вираз переходить в (9)

Вираз для функції Гамільтона можемо отримати, якщо запишемо енергію через узагальнені координати та узагальнені імпульси:

 

(10)

Що для малих швидкостей переходить у

Перший доданок хоча й великий, але постійний (і не впливає на рівняння руху), а другий є добре відоме нерелятивістське значення енергії.

Отже, з усіма необхідними перевизначенями ми ввели 4-імпульс:

(12)

Відмітимо також ще одне співвідношення, яке можливо буде використовуватись у квантовій механіці та оптиці.

Просторові компоненти 4-імпульсу пов'язані з просторо­вими компонентами швидкості як

(13)

з іншого боку множник можемо, використовуючи (8) при U(r) = 0, записати як

і тому

Отже, вираз для 4-імпульсу можемо переписати у вигляді

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.