Якщо 4-швидкість вже визначено, то 4-імпульс треба визначати як
(1)
Так його й визначають, але визначення імпульсу згідно з (1) суперечить означенню функції Лагранжа , яким ми користувались у класичній механіці. Справді, для вільної матеріальної точки функція Лагранжа має вигляд :
Кожна компонента узагальненого імпульсу обчислюється згідно з означенням як .Якщо обчислити, наприклад, компоненту рхза цією формулою, то одержимо рх = mvx, що не збігається з (1), Причина в тому, що слід перевизначити функцію Лагранжа.
Механіку релятивістських частинок зручно будувати, виходячи з принципу найменшої дії, добре відомого з класичної (нерелятивістської) механіки: реалізується такий рух, для якого інтеграл дії S набуває мінімального значення.
Визначимо дію S для вільної матеріальної частинки. Очевидно, що значення дії не повинно залежати від вибору системи координат, тобто має бути лоренц-інваріантним. Однак для вільної частинки єдиним можливим інваріантом є інтервал. Отже
де враховано зв'язок (1), (3) між власним часом d та інтервалом ds. Таким чином,
a— деяка, поки не визначена, стала. Як відомо, дія S пов'язана з функцією Лагранжа співвідношенням Тому функція Лагранжа вільної частинки має вигляд:
Для визначення сталої а скористаємось граничним нерелятивістським випадком, v/c —> 0:
Перший доданок є сталим, тобто не впливає на рух і може бути відкинутим. Другий має переходити на класичний вираз (2), звідки a = —me2. Враховуючи також можливі потенціальні взаємодії, запишемо остаточно функцію Лагранжа релятивістської частинки маси m, що рухається із швидкістю v у потенціалі U:
Зроблене означення зобов'язує нас перевизначити відповідним чином енергію частинки та функцію Гамільтона, оскільки ці величини з функцією Лагранжа нерозривно пов'язані. Справді, енергія матеріальної точки є:
При обчисленні було враховано, що просторові компоненти 4-імпульсу дорівнюють р = mv. Крім того, при малих швидкостях цей вираз переходить в (9)
Вираз для функції Гамільтона можемо отримати, якщо запишемо енергію через узагальнені координати та узагальнені імпульси:
(10)
Що для малих швидкостей переходить у
Перший доданок хоча й великий, але постійний (і не впливає на рівняння руху), а другий є добре відоме нерелятивістське значення енергії.
Отже, з усіма необхідними перевизначенями ми ввели 4-імпульс:
(12)
Відмітимо також ще одне співвідношення, яке можливо буде використовуватись у квантовій механіці та оптиці.
Просторові компоненти 4-імпульсу пов'язані з просторовими компонентами швидкості як
(13)
з іншого боку множник можемо, використовуючи (8) при U(r) = 0, записати як
і тому
Отже, вираз для 4-імпульсу можемо переписати у вигляді