Як установити годинники та як їх синхронізувати? Перше, що спадає на думку — треба звести всі годинники до купи (па початок координат); поставити стрілки в однакове положення, а потім розвести по своїх точках. Але виявляється, що так зробити не можна, тому що час. який будуть вони показувати, залежатиме від шляху, яким його було перенесено на кінцеву точку.
Тому синхронізацію годинників прийнято виконувати так: нехай всі годинники вже рознесено по своїх точках, у момент часу t на початку координат відбувається спалах світла і сферична хвиля починає поширюватися в усі боки. Відстані до всіх годинників вже відомі, тому коли світлова хвиля дійде до годинника, що знаходиться в точці г, його стрілки потрібно поставити в положення t+| r|c. Цей спосіб синхронізації годинників запропоновано Ейнштейном.
Вимагає також уточнення поняття одночасності. Якщо дві події відбуваються в одній точці, то проблем, зрозуміло, немає. Але якщо вони відбуваються в різних точках простору(x1, t1) та (x2, t2),одночасність визначають наступним чином. Нехай одночасно з цими подіями в кожній точці відбувається спалах світла — якщо ці спалахи зустрічаються в точці (x1 + x2)/2, то такі події звуть одночасними. Звернемо увагу, що для синхронізації (і для одночасності) використовують саме світловий сигнал. Причина цього полягає в незалежності швидкості світла від вибору інерціальної системи координат.
Нехай у системі К маємо дві події (x1, t1) та (x2, t2)і відповідно в системі К' — (x'1, t'1) та (x'2, t'2). Обчислимо, як пов'язані проміжки часу між цими двома подіями, використавши для цього(14§1)
, (1)
(
З (1) видно, що якщо нештрихованій системі координат події одночасні
(t1 = t2), то в системі штрихованій можливі всі три варіанти:
(2)
Це зайвий раз підкреслює, що поняття одночасності є відносним. Але такий результат можемо отримати лише у випадку, коли події в точках 1 і 2 не пов'язані між собою причинно-наслідковим зв'язком. Здоровий глузд підказує, що причина повинна передувати наслідку незалежно від системи відліку. Так у дійсності і є. Наприклад, якщо йдеться про постріл з рушниці і влучення кулі в мішень, то координата мішені пов'язана з координатою рушниці очевидним співвідношенням x2= x1+ υkt. Підставивши цю залежність у (2) одержимо:
)(3)
звідки видно, якщо в системі К t2 > t1, то і для системи К' нерівність має таке саме значення t'2 > t'1 .
Питання про можливість причинно-наслідкового зв'язку між двома подіями може бути вирішено в загальному випадку з аналізу знака інтервалу. Розглянемо три випадки:
1. Інтервал між двома подіями називають чашоподібним. якщо квадрат часової компоненти більше за квадрат (суму квадратів) просторової компоненти:
(4)
Ця рівність, очевидно, еквівалентна такій:
з чого неважко зробити висновок — події, які відбуваються в цих точках можуть бути пов'язані причинно-наслідковим зв'язком (але можуть бути і не пов'язані). Це випливає з того, що при заданій відстані за заданий проміжок часу світло (а можливо і більш повільний сигнал) може «добігти» від точки 1 до точки 2.
2. Інтервал між двома подіями називають просторовоподібним. якщо квадрат часової компоненти менше за квадрат (суму квадратів) просторової компоненти:
(6)
Ця рівність, очевидно, еквівалентна такій:
c (7)
З цієї рівності з необхідністю випливає дуже важливий наслідок — події, які відбуваються в цих точках, не можуть бути пов'язані причинно-наслідковим зв'язком, оскільки навіть світло за відведений проміжок часу не зможе подолати відстань між цими точками.
3. Інтервал називають світлоподібним, (або нульовим). якщо квадрат часової компоненти дорівнює квадрату (сумі квадратів) просторової компоненти.
Власний час
Розглянемо нерухому систему координат К та деяке тіло, що рухається довільним чином (його швидкість змінює свою величину і напрям). З цим тілом пов'яжемо рухому систему координат. Звичайно ця система буде неінерціальною, оскільки бере участь в усіх переміщеннях тіла. Але в деякий певний проміжок часу [t;t + dt] її можемо вважати локально інерціальною (для нескінченно малих переміщень і нескінченно малих проміжків часу). Інтервал, що пов'язує дві події, розділені нескінченно малим проміжком часу, очевидно, має однакову величину для нерухомої системи і системи пов'язаної з тілом (ds)2 = (ds')2. При запису виразу для інтервалу врахуємо, що в системі тіла зміщення координат не відбувається. dх' = dy' = dz' = 0. Отже:
(1)
де dτ — елемент часу в системі координат, пов'язаний з рухомим тілом (так званий власний час). Звернемо увагу, що згідно з останнім співвідношенням, власний час є інваріантом відносно перетворень Лоренца:
=inv. (2)
При виконанні математичних перетворень врахуємо, що
(3)
і після нескладних алгебраїчних операцій одержуємо:
(4)
Співвідношення (4) пов'язує елемент часу у власній системі координат тіла з елементом часу в лабораторній системі координат. З нього видно, що у власній системі (системі самого тіла) час плине повільніше, оскільки видно, що dτ < dt.
Те саме стосується і скінченних відрізків часу:
(5)
За допомогою формули (5) при заданій швидкості υ(t) можна обчислити різницю показів годинників у лабораторній системі та власній системі тіла.
Зокрема для малих, але скінчених відрізків і постійної рівномірної швидкості руху тіла (системи відліку) запишемо формулу, якою будемо користуватись у подальшому:
(6)
Відміна власного часу від лабораторного суттєва лише при швидкостях, не малих у порівнянні зі швидкістю світла. Такі швидкості реалізуються, наприклад, в елементарних частинках космічного випромінювання.
Наведемо приклад. Існують елементарні частинки, які мають назву мюони (μ). Вони за багатьма параметрами нагадують електрони, але їх маса у 206 разів більша від маси електронів і. крім того, час життя становить
2.2 · 10-6 с. У земних умовах вони не існують, а приходять до нас як вторинна компонента космічного випромінювання. Космічне випромінювання — це потік елементарних частинок (понад 90% складають протони. 7% —
α-частинки, решта — більш важкі частинки), що мають надзвичайно високі енергії (106-1020) еВ. і приходять до нас із космосу (практично рівномірно з усіх боків). Якби не атмосфера Землі, то все живе під потоком такої інтенсивності загинуло б. Але ця первинна компонента на своєму шляху зустрічає атоми азоту, кисню, пеону тощо і в результаті зіткнень на висоті приблизно 20-30 км утворюється вторинне космічне випромінювання. Однією з компонент цього випромінювання є мюони.
Не важко підрахувати, Ідо маючи час життя 2.2 · 10-6 с навіть при швидкості 3 · 108 м/с він пролетів би всього 600м. Але ці частинки надійно спостерігають на поверхні Землі в лабораторних умовах. Причина полягає: в тому, що величина 2.2 · 10-6 с є час життя в системі координат, нерухомій відносно до мюона. Ми спостерігаємо його як частинку, що знаходиться щодо нас у рухомій системі координат, а в рухомій відносно нас системі координат час іде повільніше. Тобто при визначенні його часу життя для нас з вами ми повинні користуватись формулою (6), де Δ τ— час життя у власній системі координат, а Δt — час життя, який буде спостережено в рухомій системі координат.
Після створення атомних годинників з'явилась можливість безпосередньої перевірки співвідношення (6). Один із годинників досить довго літав на літаку (жовтень 1971 p.). інший — знаходився на землі. Різниця показань (181 ± 23 нс) виявилась близкою до очікуваної 203 ± 10 нс) [15. т. 1, с. 133]1.