Експериментальне було надійно встановлено, що с = const у довільній інерціальній системі відліку і що не існує виділеної інерціальної системі відліку - всі інерціальні системи відліку рівноправні. Це дозволило Ейнштейну сформулювати принцип відносності, який пізніше назвали ейнштейнівським. у вигляді:
1. Усі фізичні закони та рівняння, сформульовані для однієї інерціальної системи відліку, не змінюються при переході до іншої довільної інерціальної системи відліку.
2. Швидкість світла не залежить від швидкості руху спостерігача і в довільній інерціальній системі відліку дорівнює 3 · 1010см/с.
З цих двох тверджень логічно випливають перетворення Лоренца.
Кінематика СТВ
Перетворення Лоренца
Нехай маємо дві системи координат: нерухому К та систему К'. що рухається відносно неї рівномірно і прямолінійно зі швидкістю V вздовж осі x (див. мал.1.). Нехай у момент часу t = 0 (t' = 0) початки координатних систем збігалися і в цей же момент з початку координат r = 0 (r' = 0) почала поширюватись сферична світлова хвиля (спалах світла).
K y K′ y′
v
x′
x
мал.(1)
z z′
У системі відліку К умомент часу t передній фронт світлової хвилі пройде відстань ct, а в системі К' умомент часу t' його шлях буде ct '. Тобто спостерігач системи К буде спостерігати передній фронт світлової хвилі як сферу радіуса ct і опише її рівнянням:
(1)
А спостерігач системи К' ту саму сферичну хвилю опише рівнянням:
(2)
Він опише її саме так. оскільки в системі координат К' світло поширюється з такою самою швидкістю с. Ці дві рівності показують. що величина:
=const (3)
є інваріант переходу (не змінюється при переході) від однієї інерціальної системи відліку до іншої. При поширенні світла по й інваріант дорівнює нулеві, але в інших випадках може бути і додатною, і від'ємною величиною, яка має спеціальну назву — інтервал. Він визначає метрику простору-часу. Нагадаємо, що в трьохвимірному простору інваріантом переходу від однієї системи координат до іншої є сума квадратів координат (відстань між точками не змінюється). Усі доданки такого інваріанта входять із однаковими знаками «плюс». А у виразі для інтервалу час війшов із знаком мінус — протилежний знак до знака просторових координат. Там. де всі квадрати мають однакові знаки — то геометрія Евклідова. а в даному випадку з'являється геометрія псевдоевклідова. Отже, суто фізичні міркування (і експериментальні дані) привели нас до іншого типу геометрії, а це, звісно, приведе до інших, частково невідомих нам наслідків.
Тобто перехід від однієї інерціальної системи координат до іншої можна собі уявляти як перехід від одних координат до інших у псевдоевклідовому просторі. Якщо йдеться про чисто координатний перехід, то майже очевидно, що тут все буде як у евклідовому випадку. Але коли одна з координат містить час (ct), то ситуація ускладнюється. Справді перетворення просторової частини відбуваються, наприклад, при повороті плоских осей навколо початку координат і мають добре знайомий вам вигляд (2):
, (4)
Таке перетворення не змінює евклідову довжину:
(5)
Але перетворення, в якому бере участь час. зберігає іншу величину — інтервал. Можемо скористатись формулами плоского повороту, якщо записати інтервал у вигляді
(6)
Тоді формально можемо користуватись формулами плоского повороту, замінивши в них координату у на ict
ict= (7)
Ці. поки що формальні, перетворення можемо привести до дійсного вигляду, якщо пригадаємо, що гіперболічні функції від уявного аргументу пов'язані з тригонометричними відомим співвідношенням , . Введемо позначення = іφ і запишемо (13) у вигляді:
, (8)
Нас цікавить перетворення координат при русі вздовж осі х. При ньому, очевидно, перетворюються тільки координата x і час t. Отже, перетворення матимемо вигляд. Залишилось визначити тільки кут ψ.
Розглянемо рух початку координат системи Κ', тобто точки х' = у' = z' = 0 відносно системи К. Спостерігач системи К бачить, що відносно нього ця точка рухається зі швидкістю V. Координати цієї точки в системі К рівні:
х = Vt, у = z = 0. Врахуємо ці співвідношення в (8) . Маємо:
(9)
Перша з цих рівностей дає, очевидно, = -V/с. А тому неважко обчислити і всі інші значення гіперболічних функцій:
, , (10)
Враховуючи співвідношення (9), (10) одержимо перетворення Лоренца:
, , , (11)
Для знаходження обернених перетворень потрібно розвязати рівняння (11) відносно х і t; однак можна їх отримати, користуючись простими фізичними міркуваннями — система К' рухається відносно системи К із швидкістю V (у додатньому напряму осі х). а система К рухається відносно системи K' у бік від'ємних x із швидкістю - V. Тому зворотний перехід можемо викопати, помінявши місцями штриховані та нештриховані змінні й змінивши знак у швидкості відносного руху:
Для скорочення запису використовують стандартні у СТВ позначення:
У цих позначеннях перетворення Лоренца (11) має вигляд
, , , (14)
Необхідно звернути увагу на декілька обставин.
1. У перетвореннях (12,11) простір та час беруть рівноправну участь; найбільш симетризовану форму має перетворення в позначеннях (14). Це незаперечне свідчить про те. що наш простір у дійсності чотирьохвимірний. Мається на увазі, що кожна просторова система координат крім позначок на осях повинна в кожній точці мати свій власний годинник і показання всіх цих годинників мають бути синхронізовані. Не треба розуміти чотирьохвимірність як намагання «причепити» четверту координату до вже існуючих.
2. Для малих швидкостей V<< с перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея: тобто поняття часу наближається до абсолютного в границі V/c —> 0.
3. Претворения Лоренца не комутують. Результат залежить від порядку переходу між трьома рухомими системами.
4. Ще одно суттєве зауваження, яке свідчить про чотирьохвимірніcть простору. З математичного погляду звичний нам трьохвимірний простір поступається своїми алгебраїчними властивостями як перед одно-, двох-, так і перед чотирьох- вимірними просторами. У курсі математиці відома так звана теорема Фробенгуса, згідно з якою алгебру з чотирма математичними операціями (додавання, віднімання, множення і ділення) можна побудувати лише, якщо вимірність простору дорівнює 1 (дійсні числа), 2 (комплексні числа), 1 (так звані кватерніони), 8 (октаніони). Для іншої вимірності побудувати повноцінну алгебру неможливо. Так, наприклад, для трьохвимірного простору (простору векторів) не можна коректно ввести операцію ділення.
Оскільки, зважаючи на все сказано, час не є абсолютним,то треба перш за все переглянути питання про синхронізацію годинників чотирьохвимірного простору, а також і поняття одночасності.