Теорема Гауса-Остроградського і її застосування для розрахунку електричних полів

Спочатку розрахуємо потік вектора напруженості поля точкового заряду q через сферичну поверхню радіусом r.

Потік вважається додатнім; якщо лінії напруженості виходять із поверхності і від’ємним для ліній, що входить у поверхню. Напруженість поля в точках сферичної поверхні стала по величині дорівнює:

Вектори напруженості поля у всіх точках співпадають з напрямком нормалі.

Тому потік вектора напруженості через сферичну поверхню дорівнює

Підставимо значення Е і S.

;

потік вектора напруженості поля точкового заряду q через сферичну поверхню пропорційний q.

Цей висновок узагальнюється теоремою Гауса – Остроградського на будь-яку систему зарядів, оточених довільно замкненою поверхнею.

Теорема. Потік вектора електричної напруженості через будь-яку замкнену поверхню пропорційний алгебраїчній сумі зарядів, охоплюваних цією поверхнею.

Із теореми Гауса маємо ряд наслідків:

1) Лінії напруженості починаються на позитивних і закінчуються на негативних зарядах.

2) Повний потік вектора зміщення через поверхню, що охоплює систему зарядів алгебраїчна сума яких дорівнює нулю.

У електростатиці електростатичний потенціал визначається згідно із співвідношенням

де - напруженість електричного поля.

Електростатичний потенціал визначений із точністю до довільної сталої. На практиці найчастіше за початок відліку служать потенціал заряду на нескінченості, або потенціал землі.

В системі одиниць СІ і на практиці вимірюється у вольтах.

Потенціал навколо точкового заряду

Точковий заряд q створює в точці спостереження електричне поле з напруженістю

Згідно з означенням електростатичного потенціалу

В середовищі потенціал зменшується в ε разів, де ε - діелектрична стала.

Властивості

Електростатичний потенціал має властивість адитивності: потенціал системи зарядів дорівнює сумі потенціалів, створених кожним із них.

У випадку неперервного розподілу зарядів у просторі

де ρ - густина заряду.

Часто для визначення електростатичного потенціалу зручно розв'язувати диференційне рівняння, якому він задовільняє - рівняння Пуасона

Δ = − 4πρ.

Електростатичний потенціал системи заряджених провідників

На поверхні провідника електростатичний потенціал сталий, незалежно від форми провідника. Сталість потенціалу досягається перерозподілом зарядів. В такому випадку задачею електростатики є знаходження розподілу зарядів і водночас електростатичного потенціалу в просторі між цими зарядами, де потенціал задовільняє рівнянню Лапласа

Δ = 0.

Поляризація діелектриків - явище, пов'язане з обмеженим зміщенням зв'язаних зарядів у діелектрику або поворотом електричних диполів, зазвичай під впливом зовнішнього електричного поля, іноді під дією інших зовнішніх сил або спонтанно.

Залежно від механізму поляризації, поляризацію діелектриків можна поділити на такі типи:

Електронна - зміщення електронних оболонок атомів під дією зовнішнього електричного поля. Найшвидша поляризація (до 10^-15 с). Не пов'язані з втратами.

Іонна - зміщення вузлів кристалічної структури під дією зовнішнього електричного поля, причому зсув на величину, меншу, ніж величина постійної решітки. Час протікання 10^-13 с, без втрат.

Дипольна (Орієнтаційна) - протікає з втратами на подолання сил зв'язку та внутрішнього тертя. Пов'язана з орієнтацією диполів в зовнішньому електричному полі.

Електронно-релаксаційна - орієнтація дефектних електронів в зовнішньому електричному полі.

Іонно-релаксаційна - зміщення іонів, слабо закріплених у вузлах кристалічної структури, або знаходяться в междуузліе.

Структурна - орієнтація домішок і неоднорідних макроскопічних включень у діелектрику. Самий повільний тип.

Залежність поляризаціїP від напруженості електричного поляЕ у ВЧ діелектрику.	Залежність поляризаціїP від напруженості електричного поляЕ в параелектрику	Залежність поляризаціїP від напруженості електричного поляЕ у фероелектрику.

Якщо провідник внести в електричне поле, вільні електрони в провіднику під дією сил цього поля зміщатимуться в напрямі, протилежному напруженості поля. Внаслідок цього зміщення на одній частині провідника виникає надлишок негативного заряду, на другій частині - надлишок позитивного заряду. В цьому полягає явище електростатичної індукції (або електризації через вплив). Упорядковане переміщення електронів повністю припиняється, коли напруженості зовнішнього і внутрішнього полів виявляються однаковими за значенням. Електричного поля немає всередині як зарядженого, так і незарядженого провідника. Заряди розміщуються на зовнішній поверхні провідника. Найбільша кількість зарядів знаходиться на випуклостях і особливо на вістрях провідника. У нейтральних провідниках завжди є однакова кількість позитивних і негативних зарядів. У провідниках першого ряду (металах) наявні вільні електрони, які перебувають у безперервному хаотичному русі в межах провідника. При внесенні такого провідника в зовнішнє електричне поле (наприклад, однорідне з напруженістю ) на позитивні і негативні заряди діятиме сила : позитивні заряди ця сила зміщуватиме в напрямі , а негативні - у протилежному напрямі. Оскільки позитивні заряди в металах – це іони, закріплені у вузлах кристалічної градки, то вони можуть переміщатись лише на мікроскопічні відстані. Вільні електрони, навпаки, переміщатимуться проти напряму на макроскопічній відстані. Внаслідок цього в металі відбудеться перерозподіл електричних зарядів: ближня грань у напрямі поля зарядиться негативно, а дальня збіднюється електронами і зарядиться позитивно. Явище перерозподілу електричних зарядів у провіднику під дією зовнішнього електричного поля і виникнення внаслідок цього електризації провідника називають електростатичною індукцією або електризацією через вплив. Індуковані на протилежних у напрямі поля гранях провідника різнойменні заряди створюють у середині нього внутрішнє електричне поле, вектор напруженості якого напрямлений протилежно до напряму вектора зовнішнього поля. Переміщення вільних електронів у металі під дією продовжуватиметься доти, доки не настане взаємна компенсація зовнішнього і наведеного полів, тобто стануть рівними за абсолютним значенням .Густина індукованих зарядів на поверхні провідника прямо пропорційно залежить від напруженості зовнішнього електричного поля.

Явище електростатичної індукції можна використати для того, щоб зарядити тіла зарядами протилежного знака. Для цього два провідних тіла А і В з’єднують між собою тонким провідником і систему розміщують вздовж зовнішнього поля. На ближньому в напрямі поля тіла виникає негативний заряд, на дальньому - позитивний. Якщо роз’єднати тіла, а потім зняти зовнішнє електричне поле, то дальнє тіло залишиться зарядженим позитивно (на цьому виявиться нестача електронів), а ближнє буде зарядженим негативно (надлишок електронів).

Є́мність— здатність тіла накопичувати електричний заряд.

Ємність визначається, як відношення заряду тіла Q до його потенціалу V.

Здебільшого ємність позначається латинською літерою C. Одиницею вимірювання ємності в системі СІ є Фарад, в СГС — сантиметр.

Фізична природа

Зазвичай поняття ємності застосовується до заряджених провідників. За відсутністю електрорушійних сил електричне поле не може існувати всередині провідників, бо воно призвело б до переміщення вільних зарядів і виникнення струмів. Тому заряди зосереджуються лише на поверхні провідника, при цьому усі точки поверхні мають однаковий потенціал. Зростання величини заряду на поверхні провідника приводить до підвищення потенціалу.

Електричне поле E навколо провідної сфери з радіусом R визначається формулою

де Q — заряд сфери, а r — радіус точки, в якій проводиться вимірювання [1]. Електростатичний потенціал V на поверхні дорівнює

Таким чином, ємність провідної сфери у порожнечі дорівнює її радіусу.

C = R.

Властивості

Ємність провідника залежить від його форми. Чим більша поверхня провідника, тим вища ємність. Це пояснюється тим, що на більшій поверхні віддаль між електричними зарядами зростає.

Ємність також залежить від середовища, в яке поміщений провідник. Чим більша діелектрична проникність середовища, тим більша ємність. Наприклад, для провідної сфери в середовищі із діелектричною сталою ε

Ємнісні коефіцієнти

Якщо в просторі розташовані кілька заряджених провідників, то потенціал на поверхні кожного з них визначається не лише зарядом саме цього провідника, а й зарядами сусідніх провідників. Можна записати лінійну залежність між величиною зарядів Q_i та величиною потенціалівV_i.

Q_i =∑C_ijV_i.

^j

Коефіцієнти C_ij — називаються ємнісними коефіцієнтами. Іноді вживається така термінологія, в якій коефіцієнти з двома однаковими індексами C_ii називаються коефіцієнтами ємності, а коефіцієнти за різними індексами називаються коефіцієнтами індукції.

Коефіцієнти Pij оберненої залежності

V_i =∑P_ijQ_j,

i

називаються потенціальними коефіцієнтами.

Ємність конденсатора

У електротехніці потрібні елементи, які накопичували б заряди. Такими елементами є конденсатори. Для підвищення ємності конденсаторів їх виготовляють у вигляді двох близьких металічних поверхонь (обкладок) якомога більшої площі, розділених матеріалом із якомога більшою діелектричною сталою. Ємність плоского конденсатора

де S — площа поверхні, d — відстань між обкладками.

Для довідок

Ємність циліндричного конденсатора

де l — довжина циліндра, b — радіус зовнішньої обкладки, a — радіус внутрішньої обкладки.

Ємність двох паралельних дротин

де l — довжина дротин, h — віддаль між ними, а та b — радіуси дротин.

Конденсáтор — система з двох чи більше електродів (обкладок), які розділені діелектриком, товщина якого менша у порівнянні з розміром обкладок. Така система має взаємну ємність і здатна зберігати електричний заряд.

Конденсатор має реактивний опір, величина якого дорівнює: R_C = 1/(ωC), де С— ємність конденсатора, ω — кутова частота струму, який протікає через нього. Відповідно, для постійного струму частота дорівнює нулю, а опір конденсатора — нескінченна величина (в ідеальному випадку).

При зміні частоти змінюється діелектрична проникність діелектрика і рівень впливу паразитних параметрів — власної індуктивності і опору втрат. На високих частотах будь-який конденсатор можна розглядати як послідовний коливальний контур, утворений ємністю С, власною індуктивністю L_С і опором втрат R_n.

При f > f_p конденсатор в колі змінного струму поводить себе як котушка індуктивності. Відповідно, конденсатор доцільно використовувати лише на частотах f < f_p , на яких його опір має ємкісний характер.

Ємність

Основною характеристикою конденсатора є його електрична ємність (точніше номінальна ємність), яка визначає накопичений заряд. Типові значення ємності конденсаторів складають від одиниць пікофарад до сотень мікрофарад. Але існують конденсатори з ємністю десятків фарад.

Ємність плоского конденсатора, яка складається з двох паралельних металічних пластин площиною S кожна, які розташовані на відстані d одна від одної, в системі СІ виражена формулою , де ε — відносна діелектрична проникність середовища, яке заповнює простір між пластинами. Ця формула справедлива лише при малих d.

Для отримання великих ємностей конденсатори з`єднують паралельно. Загальна ємність батареї паралельно з`єднаних конденсаторів дорівнює сумі ємностей всіх конденсаторів, які входять у батарею.

При послідовному з`єднанні конденсаторів заряди усіх конденсаторів однакові. Загальна ємність батареї послідовно з`єднаних конденсаторів дорівнює

Ця ємність завжди менша мінімальної ємності конденсатора, який входить в батарею. Але при послідовному з`єднананні зменшується загроза пробою конденсаторів, оскільки на кожний конденсатор надходить лише частина різниці потенціалів джерела напруги.

Електричний струм за напрямом протікає від позитивного полюса джерела живлення до негативного

Електри́чний струм — впорядкований рух заряджених частинок у просторі. У металах це електрони, напівпровідниках - електрони та дірки, у електролітах - позитивно та негативно заряджені іони, у іонізованих газах — іони та електрони. За напрямок струму вибирають рух позитивно заряджених частинок. Таким чином, напрямок струму в металах протилежний напрямку руху електронів

Силою струму через провідник називається величина що відповідає кількості заряду Δq, переміщеному через перетин провідника за проміжок часу Δt. У системі СІ сила струму вимірюється в амперах. Відповідно, густина струму вимірюється в A/м2.

Якщо за кожен проміжок часу Δt заряд Δq однаковий і напрямок струму незмінний, то такий струм називають постійним.

У випадку, коли ці величини змінні, силу струму описують так: Такий струм називають змінним.

Чим зумовлений струм

Електричний струм в речовині виникає під дією електричного поля. Електричне поле змушує рухатися вільні носії заряду: електрони, дірки чи іони. Узгоджений рух носіїв заряду в зовнішньому електричному полі називається дрейфовим струмом.

Електричний струм виникає також під дією відмінних від електричного поля причин. У таких випадках говорять, що електричний струм зумовлений сторонніми силами. Кількісною характеристикою здатності сторонніх сил створювати електричний струм є так звана електрорушійна сила, або скорочено ЕРС.

Розглянемо кілька різних прикладів створення струму сторонніми силами.

Дифузійний струм виникає тоді, коли носії заряду розпроділені в речовині неоднорідно. Дифузійний струм важливий для роботи напівпровідникових приладів, зокрема транзисторів.

У гальванічних елементах, батарейках, акумуляторах електричний струм виникає внаслідок хімічних перетворень, які відбуваються на межі електродів з електролітом.

У термоелектричних джерелах струму електричний струм виникає внаслідок градієнту температури.

Електричний струм викликається також змінним магнітним полем. Зміна магнітного потоку створює вихрове електричне поле, яке й призводить до руху носіїв заряду.

Дія струму

Електричний струм створює магнітне поле, напруженість якого визначається законом Біо-Савара. Магнітне поле, створене струмом, використовується для вимірювання сили струму.

Проходження електричного струму через речовину приводить до тепловиділення. У випадку провідника зі скінченним опором це тепловиділення описуєтсья законом Джоуля-Ленца. При проходженні струму через контакт двох провідників тепло може як виділятися, так і поглинатися (ефект Пельтьє). Аналогічні до ефекту Пельтьє явища винакають при проходженні електричного струму через провідник із нерівномірним розподілом температури.

Електричний струм в газах викликає світіння, що є частковим випадком електролюмінесценції. Аналогічні явища виникають у світлодіодах. При проходженні через електроліт електричний струм супроводжується хімічними реакціями на електродах, які можуть покриватися шаром металу, що виділяється з електроліту.

Вимірювання

Сила струму (або просто струм) — кількісна характеристика електричного струму в провіднику, скалярна величина , яка відповідає кількості заряду (Δq), що проходить через перетин провідника за час Δt, розділеному на цей проміжок часу.

У системі СІ сила струму вимірюється в амперах. Відповідно, густина струму вимірюється в A/м2.

Якщо за кожен проміжок часу Δt заряд Δq однаковий і напрямок струму незмінний, то такий струм називають постійним.

У випадку, коли ці величини залежать від часу, силу струму описують так:

такий струм називають змінним.

Для класичної системи заряджених частинок із зарядом e безмежно малий заряд dQ, що переноситься за час dt через елементарну площадку dS, перпендикулярну до напрямку середньої швидкості v частинок визначається як:

де e — заряд частинок, v — швидкість руху частинок, а n — їх кількість в одиниці об'єму.

Сила струму dI через площадку dS визначається співвідношенням

звідки для густини струму

— густина електричного струму, де риска над символами означає усереднення.

Густина струму — визначається, як величина заряду, яка протікає через одиничну площу за одиницю часу.

Густина струму — векторна величина, її напрямок визначається напрямком потоку заряду. Вона позначається латинською літерою .

У системі СІ сила струму вимірюється в амперах. Відповідно, густина струму вимірюється в A/м2.

Електрорушійна сила кількісна міра роботи сторонніх сил із переміщення заряду, характеристика джерела струму.

Позначається здебільшого літерою , вимірюється в системі СІ у Вольтах. Зазвичай електрорушійна сила скорочується в текстах до е.р.с.

Електрорушійна сила ділянки кола дорівнює енергії, яку отримує одиничний заряд, пройшовши цю ділянку кола.

Для замкненого кола

де f— стороння сила.

Для протікання електричним колом струму необхідно, щоб у колі були елементи, які переміщують електричні заряди, збільшуючи їхню енергію. Сили, які виконують цю функцію називаються сторонніми силами. За своєю природою сторонні сили можуть бути різноманітні: хімічні, як у електричних батареях і акумуляторах, термоелектричні, як у термопара, чи зумовлені явищем електромагнітної індукції, як у генераторах електричного струму. Кожне джерело струму характеризується своєю електрорушійною силою й внутрішнім опором. Напруга (U) на ділянці електричного кола — фізична величина, що визначається роботою, яка виконується сумарним полем електростатичних і сторонніх сил при переміщенні одиничного позитивного заряду на даній ділянці кола. Поняття напруги є узагальненим поняттям різниці потенціалів: напруга на кінцях ділянки кола дорівнює різниці потенціалів в тому випадку, якщо на цій ділянці не прикладена електрорушійна сила.

Напруга вимірюється у вольтах (B). U=Wст/Q, де Wст - робота сторонніх сил по переміщенню заряду, Q- одиниця заряду U= 1- 2, де 1- 2 - різниця потенціалів

Із закону Ома для неповного кола: U=I·R , де I-струм, R-опір провідника

Для вимірювання напруги використовуються прилади, які називаються вольтметрами, мілівольтметрами тощо.

В побутовій електромережі України використовується змінний струм із напругою 220 В.

Зако́н О́ма — це твердження про пропорційність сили струму в провіднику прикладеній напрузі.

Закон Ома справедливий для металів і напівпровідників при не надто великих прикладених напругах. Якщо для елемента електричного кола справедливий закон Ома, то говорять, що цей елемент має лінійну вольт-амперну характеристику.

Закон Ома справедливий для провідників, виготовлених із матеріалів, у яких є вільні носії заряду: електрони провідності, дірки або йони Якщо до таких провідників прикласти напругу, то в провідниках виникає електричне поле, що змушуватиме носії заряду рухатися. Під час цього руху носії заряду прискорюються й збільшують свою кінетичну енергію.

У електротехніці прийнято записувати закон Ома у інтегральному вигляді

де U — прикладена напруга, I — сила струму, R — опір провідника.

Проте опір є характеристикою провідника, а не матеріалу, й залежить від довжини та поперечного перерізу провідника. Тому в фізиці застосовують закон Ома у диференціальному вигляді:

де j — густина струму, σ — питома провідність матеріалу, E — напруженість електричного поля.

Питома провідність залежить від кількості вільних носіїв заряду в провіднику і від їхньої рухливості.

В повному колі окрім опору навантаження є ще джерело джерело живлення, яке має свій власний внутрішній опір. Сила струму в ньому визначається формулою

де — електрорушійна сила, R — опір навантаження, r -внутрішній опір джерела струму.

Закон Джоуля — Ленца — кількість теплоти, що виділяється струмом в провіднику, пропорційна силі струму, часу його проходження і падінню напруги.

де I — сила струму, R — опір, t — час.

Закон Джоуля-Ленца справедливий у межах застосовності закону Ома.

Закон Джоуля-Ленца в диференційній формі

Візьмемо у провіднику елементарний об'єм . Струм буде протікати і через , тому там виділятиметься теплота:

де — опір елементарного об'єму

З закону Ома .

З другого боку,

де

— напруженість електричного поля

— електропровідність

— час

— елементарний об'єм.

Введемо поняття елементарної питомої потужності струму — кількості теплоти, що виділяється в одиниці об'єму за одиницю часу

тоді

Питома теплова потужність струму дорівнює добутку провідності на квадрат напруженості.

Пра́вила Кіргофа визначають метод розрахунку складних розгалужених електричних кіл. Методика розрахунку розроблена Густавом Кірхгофом.

Перше правило Кірхгофа

Перший встановлює зв'язок між сумою струмів, спрямованих до вузла електричного з'єднання (додатні струми), і сумою струмів, спрямованих від вузла (від'ємні струми). Згідно з цим законом алгебрична сума струмів, що збігаються в будь-якій точці розгалуження провідників, дорівнює нулю.

Перше правило Кірхгофа є наслідком закону збереження заряду. Для неперервно розподілених струмів у просторі воно відповідає рівнянню неперервності.

Друге правило Кірхгофа Для будь-якого замкнутого контура проводів сума електрорушійних сил дорівнює сумі добутків сил струму на кожній ділянці контура на опір ділянки, враховуючи внутрішній опір джерел струму.

Математично друге правило Кірхгофа записується так:

Використання

Послідовне застосування правил Кірхгофа до усіх вузлів й контурів у складній електротехнічній мережі дозволяє скласти повну систему лінійних рівнянь для визначення сил струму на кожній із ділянок.

Для розрахунку перш за все малюють електротехнічну схему й довільним чином позначають стрілками напрями струмів на кожній ділянці. Потім виділяються замкнуті контури й обходяться в одному довільно вибраному напрямку. Якщо стрілка, яка вказує напрям струму направлена проти обходу, то відповідний добуток струму на опір береться зі знаком мінус.

Якщо при обході переходять від від'ємного полюса джерела струму до додатного, то е.р.с. записується з додатним знаком, якщо навпаки, то з від'ємним.

В результаті отримують систему рівнянь, розв'язуючи яку визначають сили струму. Якщо сила струму вийшла від'ємною, то це значить, що напрям струму на даній ділянці вгадали неправильно , хоча це не впливає на правильність результату.

Магнітне поле - складова електромагнітного поля, яка створюється змінним у часі електричним полем, рухомими електричними зарядами або спінами заряджених частинок. Магнітне поле спричиняє силову дію на рухомі електричні заряди. Нерухомі електричні заряди з магнітним полем не взаємодіють, але елементарні частинки з ненульовим спіном, які мають власний магнітний момент, є джерелом магнітного поля і магнітне поле спричиняє на них силову дію, навіть якщо вони перебувають у стані спокою.

Магнітне поле утворюється, наприклад, у просторі довкола провідника, по якому тече струм або довкола постійного магніту.

Магнітне поле є векторним полем, тобто з кожною точкою простору пов'язаний вектор магнітної індукції який характеризує величину і напрям магнітого поля у цій точці і може мінятися з плином часу. Поряд з вектором електромагнітної індукції , магнітне поле також описується вектором напруженості .

У вакуумі ці вектори пропорційні між собою: , де k - константа, що залежить від вибору системи одиниць. В системі СІ, k = μ₀ - так званій магнітній проникності вакууму. Деякі системи одиниць, наприклад СГСГ, побудовані так, щоб вектори індукції та напруженості магнітного поля тотожно дорівнювали один одному: .

Однак у середовищі ці вектори є різними: вектор напруженості описує лише магнітне поле створене рухомими зарядами (струмами) ігноруючи поле створене середовищем, тоді як вектор індукції враховує ще й вплив середовища:

^[1]

де - вектор намагніченості середовища.

Дія магнітного поля

Дія магнітного поля на рухомі заряди визначається силою Лоренца.

Сила, що діє на провідник зі струмом у магнітному полі називається силою Ампера. Сили взаємодії провідників зі струмом визначаються законом Ампера.

Нейтральні речовини без електричного струму можуть втягуватися в магнітне поле (парамагнетики) або виштовхуватися з нього (діамагнетики). Виштовхування діамагнетиків з магнітного поля можна використати для левітації.

Феромагнетики намагнічуються в магнітому полі й зберігають магнітний момент при знятті прикладеного поля

Поиск по сайту: